131二项式定理分析和总结.docx

标准文档 标准文档 实用大全 实用大全 §1.3.1 二项式定理 【教学目标】 理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简 单应用； 通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。 【教学重难点】 教学重点：二项式定理的内容及归纳过程 ； 教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。 【教学过程】 一、设置情景，引入课题 引入：二项式定理研究的是（a+b）n 的展开式。 如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n 的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律 1、多项式乘法的再认识 问题 1：（a + b ）(a +b ) (a + b )展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 1 1 2 2 3 3 2、（a+b）3 展开式的再认识 问题 2：将上式中，若令a =a =a =a, b =b = b =b,则展开式又是什么？ 1 2 3 1 2 3 合作探究 1：合并同类项后，为什么a2b 的系数是 3？ 教师引导：可以发现 a2b 是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的 一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b 应该出现了C 2 · C 1 =3 次，所以a2b 的系数是 3 1 3。 问题 3：（a+b）4 的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4 按a 或按b 进行分类： 四个括号中全都取a，得：C 4 a4 4 四个括号中有 3 个取a，剩下的 1 个取b，得：C 3 4 a3· C 1 b 1 四个括号中有 2 个取a，剩下的 2 个取b，得：C 2 4 a2· C 2 b2 2 四个括号中有 1 个取a，剩下的 3 个取b，得：C 1 4 a· C 3 b3 3 四个括号中全都取b，得：C 4 b4 4 小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按 a 分类，也可以按 b 分类，再如： 不取b：C 0 4 a4；（2）取 1 个 b：C 1 4 a3b；（3）取 2 个 b：C 2 4 a2 b2；（4）取 3 个 b：C 3 4 ab3；（5）取 4 个 b：C 4 4 b4，然后将上面各式相加得到展开式。 结论：（a+b）4= C 0 4 a4+ C1 4 a3b+ C 2 4 a2 b2+ C 3 4 ab3+ C 4 b4 4 三、形成定理，说理证明 问题 4：（a+b）n 的展开式又是什么呢？ 合作探究 2: (1) 将（a+b）n 展开有多少项？ 每一项中，字母a，b 的指数有什么特点？ 字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？ 如何确定“a”、“b”的系数？ 猜想： (a ? b)n ? C 0 an C1 an?1b ??? Ck an?k bk ?? ? Cnbn (n ? N * ) n n n n 证明：对（a+b）n 分类，按b 可以分n+1 类， 不取b：C 0 n an； 取 1 个 b：C 1 n an-1b； 取 2 个 b：C 2 n ……………… （k+1）取k 个 b：C k n ……………… an-2b2； an-kbk； (n+1)取n 个b：C n n bn； 然后将这n+1 个式子加起来，就得到二项展开式， (a+b) (a+b) n= C 0 an+ C1 an-1 b+ … + C k an-k bk+… + C n bn(n ∈ N ) n n n n + 这就是二项式定理。四、熟悉定理，简单应用 二项式定理的公式特征（由学生归纳，让学生熟悉公式） 项数：共有n+1 项； 次数：字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0；字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到n； 二项式系数：下标为n，上标由 0 递增至n； （4）通项:T = C k an-kbk；指的是第k+1 项，该项的二项式系数为C k ； k+1 n n 公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式。 x1x例 1 求(2 x 1 x )6的展开式 分析：为了方便，可以先化简后展开。 例 2 ① (1 ? 2x)7的展开式的第 4 项的系数及第 4 项的二项式系数。 1②求(x ? )9 的展开式中含 x 3的系数。 1 x 五、当堂检测 写出（p+q）7 的展开式； 求（2a+3b）6 的展开式的第 3 项； ? 写出? 3 x ? ? 1 ?n 23 x? 的展开式的第 23 x ? 4.（x-1）10 的展开式的第 6 项的系数是（ ） （A） C 6 10  (B) C 6 10 C 5 10  ? C 5 10 答案：1.（p+