2023全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案解析 .docx

1 2023全国数学联赛山东省预赛试题(含答案) 一 、填空题(每小题8分，共80分) 1、已知 , ,则集合C={m |m=xy,x∈A,y∈B} 的元案个数是 2、 已知： ,则α是 3、 已知关于x 的方程x3+ax2+bx+c=0 的三个非零实数根成等比数列， 则a3c-3 的值是 4、 正方体 ABCD-ABC,D 的底而AB,C,D, 内有一个动点M, 且BM// 平面ADC, 则 tan ∠D,MD的最大值是 5、数列{an}中 ，q?=1, ,那么a。= 6、 已知x,y,z0, 则的最小值是 7、 设AABC 的内心为J, 而且满足2I?+5IB+6/C=0, 则cos∠B的值是 8、已知双曲线H:x2-y2=1 上第一象限内一点M, 过M的作H 的切线1,与双曲线 H 切于 M, 交H 的渐近线于P,Q 两点 (P 在第一象限),R 与Q 在同一渐近线上.则RP ·RQ的最小 值为 9、小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做得零分.他的 目标是至少得7分，7分及格.小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做 对的概率为 ,小张应该做 多少道题，及格的概率最大 10、设实数x,y 使得x-y,x2-y2,x1-y 均为素数，则x-y 的值是 二、 解答题(共70分) 11、 (本题15分) 已知： O 是△ABC的外心， D,E 分别是边AC,AB 上的点，线段DE,BD,CE 的中点分别为 P,Q,R.OH⊥DE 垂足为H. 求 证 ：P,Q,R,H 四点共圆 2 12、 (本题15分) 在区间(22,2)中任取22m-1+1 个奇数.求证：在所取出的数中，必有两个数，其中一个数 的平方不能被另一个数整除. 13、 (本题20分) 已知：a,b,c 为正实数.证明； (a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca) 14、 (本题20分) 10×10的表格上填入1 到100,第i 行第j 列填入10(i- 1)+j. 每次操作如下：取一个格子，或 者将此格数字减少2,将两个相对的邻格同时加1;或者将此格数字增加2,将两个相对的邻 格同时减1. 证明：如果经过一些步骤后表格中又得到1到100的数字，则它们是按原来的顺序排列的. 2023全国数学联赛山东省预赛试题解析 3 一、填空题(每小题8分，共80分) 1、已知 , ,则集合C={m|m=xy,x ∈A,y ∈B} 的元素个数是 答案：7 解析：由已知得A={-2-1,0,1,2},B={0,1,2}, 所以C={-4,-2,-1,01,2,4} 2、 已知： ) , 则a 是 答案： 解析：由已知得2:,所以易得， 3、 已知关于x 的方程x+ar2+hx+c=0 的三个非零实数根成等比数列， 则a3c- 的值是 答案：0 解析：设这三个根是d,dy,dy2, 则由韦达定理得 整理得 ,所以a3c-b3=0 4、 正方体 ABCD-A?B?C,D, 的底面ABCD 内有一个动点M 。 且BM// 平面AD?C, 则 tan∠D,MD 的最大值是 答案： √2 解析：由已知点M 在线段AC 上运动，所以 ,且当点M 是AC, 中点 时等号成立. 5、数列{a,}中，q?=1, ,那么a,= 答案： (n=1,2, …) 解析：由递推关系得 , 所 , 所 4 所以 (n=1,2, …) 6、 已知x,y,z0, 则的最小值是 答案： 解析：由柯西不等式得 √x2+y2√+4≥x+2y,√y2+4z2√i+4≥y+4z,√z2+16x2√I+4≥z+8x 所以 且当y=z=2x 时取等号 7、设AABC 的内心为1,而且满足2IA+5I?+6/C=0, 则cos∠B的值是 答案： 解析：设△ABC的三边长为a,b,c, 由熟悉的结论：alA+bIB+cIC=0 得a:b:c=2:5:6, 所 以 8、 已知双曲线H;x2-y2=1 上第一象限内一点M, 过M 的作H 的切线1,与双曲线H 切于 M, 交 H 的渐近线于P,Q 两点 (P 在第一象限),R 与 Q 在同一渐近线上.则RP ·RQ 的最小 值为 答案： 解析：设点M(x