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数学《空间向量与立体几何》复习知识点
一、选择题
1 2 3
．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为 ，高为 的实心圆锥体工件切割成一个圆柱
.
体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内 若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体
积是( )
16 8 16 8
A ． B． C ． D．
9 9 27 27
A
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．
【详解】
r x V
解：设圆柱的半径为 ，高为 ，体积为 ，
r 3 x
则由题意可得 ，
2 3
3
x 3 r ，
2
3
2
圆柱的体积为V (r) r (3 r)(0 r 2) ，
2
3 3 3
r r 3 r
则 16 3 3 3 16 4 4 2 16 ．
V (r) r r (3 r)„ ( )3
9 4 4 2 9 3 9
3 3 4
当且仅当 r 3 r ，即r 时等号成立．
4 2 3
16
圆柱的最大体积为 ，
9
故选：A ．
【点睛】
本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关
键，是中档题．
2 ．在三棱锥P ABC 中，PA 平面 ABC ，且ABC 为等边三角形，AP AB 2 ，
则三棱锥P ABC 的外接球的表面积为（ ）
27 28 26 25
A ． B． C ． D．
2 3 3 2
B
【答案】
【解析】
【分析】
PA 2
ABC r R r2
计算出 的外接圆半径 ，利用公式 可得出外接球的半径，进而可
2
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