演示文稿极限存在准则两个重要极限公式.pptVIP

高等数学---极限存在定理与两个重要极限 高等数学---极限存在定理与两个重要极限 高等数学---极限存在定理与两个重要极限 * 高等数学---极限存在定理与两个重要极限 演示文稿极限存在准则两个重要极限公式 当前第1页\共有33页\编于星期二\10点 极限存在准则两个重要极限公式 当前第2页\共有33页\编于星期二\10点 * * 例1 解 当前第3页\共有33页\编于星期二\10点 1. 夹逼准则 准则I 证: 由条件 (2) , 当 时, 当 时, 令 则当 时, 有 由条件 (1) 即 故 * * 当前第4页\共有33页\编于星期二\10点 我们可将准则I推广到函数的情形： 准则I′ 且 注意: 准则I和准则I′统称为夹逼准则. . , 的极限是容易求的 与 并且 与 关键是构造出 利用夹逼准则求极限 * * 当前第5页\共有33页\编于星期二\10点 * 例2 当前第6页\共有33页\编于星期二\10点 例2 解： 由夹逼准则得 * * 当前第7页\共有33页\编于星期二\10点 解: 利用夹逼准则 . 且 由 ？ 1 2 1 1 lim 2 2 2 = ? ? ? è ? + + + + + + ￥ ? p p p n n n n n n L * * 当前第8页\共有33页\编于星期二\10点 夹逼准则不仅说明了极限存在， 而且给出了求极限的方法． 下面利用它 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 亦即 时， 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 注 证明一个 重要的极限公式： 当前第9页\共有33页\编于星期二\10点 * 当前第10页\共有33页\编于星期二\10点 例3 求 解: 例4 求 （课本例） 解: 令 则 因此 原式 注: 利用变量代换，可得更一般的形式 * * 当前第11页\共有33页\编于星期二\10点 例5 求 （补充题） 解: 例6 求 （课本） 解: * * 当前第12页\共有33页\编于星期二\10点 2. 单调有界准则 数列 单调增加 单调减少 准则II 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限 单调下降有下界数列必有极限 说 明: (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛． (2) 利用准则II来判定数列收敛必须同时满足 数列单调和有界这两个条件． * * 当前第13页\共有33页\编于星期二\10点 (3) 准则II只能判定数列极限的存在性， 而未给出求极限的方法． 例如，数列 ，虽然有界但不单调； ，虽然是单调的，但其无界， 易知，这两数列均发散． 数列 (4) 对于准则II， 函数极限根据自变量的不同变化过程 也有类似的 准则， 只是准则形式上略有不同. 例如， 准则II′ 设函数 在点 的某个左邻域内单调 在 的左极限 必存在． 并且有界，则 * * 当前第14页\共有33页\编于星期二\10点 作为准则II的应用，我们讨论一个重要极限： 首先，证 是单调的． * * 证 当前第15页\共有33页\编于星期二\10点 * 类似地, 当前第16页\共有33页\编于星期二\10点 * 其次，证 有界． 当前第17页\共有33页\编于星期二\10点 通常用字母 来表示这个极限，即 也可以证明，当 取实数而趋于 或 时，函数 的极限都存在且都等于 ，即 利用变量代换，可得更一般的形式 * * 当前第18页\共有33页\编于星期二\10点 * * 三.两 个 重 要 极 限 当前第19页\共有33页\编于星期二\10点 * 例1 求下列极限 当前第20页\共有33页\编于星期二\10点 * * 例1 求下列极限 当前第21页\共有33页\编于星期二\10点 * * 当前第22页\共有33页\编于星期二\10点 * * 当前第23页\共有33页\编于星期二\10点 证 证毕 当前第24页\共有33页\编于星期二\10点 高等数学---极限存在定理与两个重要极限 高等数学---极限存在定理与两个重要极限 高等数学---极限存在定理与两个重要极限 * 高等数学---极限存在定理与两个重要极限