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旋转模型-鸡爪模型 【内容介绍】 本次资料主要包含数学科目，重点指导学生了解旋转模型相关知识，掌握 不同旋转模型的解题方法；主要是通过要点梳理，帮助大家综合掌握鸡爪模型 的含义和解题方法，再通过典型例题的分析，帮助大家了解常考题型. 建议大 家深入学习掌握要点梳理，认真研读例题，并在日常学习中注重练习，实现对 学习目标的综合把握. 【要点梳理】 如图所示，共顶点的三条线段形成的模型，因为长得特别像我们的鸡爪， 所以叫做“鸡爪模型”. 【解题思路】 “鸡爪模型”的解题思路主要是通过一些几何变化，把其中的线段进行转 移，以达到聚合条件，推出我们想要的结论的目的. 对于几何变化，目前学过 的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等. 对于“鸡爪模型”我们主要采用旋转 的方法进行变换. 对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似. 主要讲“鸡爪模型” 之旋转全等类型. 那么，什么情况下可以利用旋转全等呢？如图： 条件： ①一组相等的线段(一组手) ，并且夹角固定 ②第三条手 处理方式： 1.将第三条线段以固定角旋转（顺时针逆时针都可）2.左手拉左手，右手拉 右 【图形演示如下】 因此，告诉我们三条手，以及角度，我们就能够确定第四条手 解题模板：1.明确鸡爪位置，找到两条相等线段，明确它们的夹角 2.再找第三条手，根据夹角相等，旋转变换出第四条手 3.左手拉左手，右手拉右手，构造全等三角形 好啦，我们来处理下刚刚的例题 【例题精讲】 例 1 ：如图，点 P 在正△ABC 中，∠APB=150°，求证PA²+PB²=PC² 第一步：AB=BC ，且∠ABC=60° 第二步：将 BP 绕着点 B 逆时针旋转 60° 第三步：左手拉左手，右手拉右手，构造全手拉手全等三角形 因此，我们根据△ABP'≌△CBP ，可知，我们已经把，PB 和 PC 转化了出 来. 当然，这里还有一个关键步骤，连接PP'. 解析：将 BP 绕着点 B 逆时针旋转 60°，得到BP' 连接 AP' ，BP' ，PP'.易知：△ABP'≌△CBP ∴P'A=PC 又∵∠PBP'=60°，BP=BP' ∴△BPP'为等边三角形 ∴PB=PP' 又∵∠APB=150° ∴∠APP'=90° ∴△APP'为直角三角形 2 2 2 ∴PA +PP' = P'A 又∵PB=PP'，P'A=PC ∴PA²+PB²=PC² 点评：由于△ABC 是等边三角形，因此“鸡爪”有很多，一共有三个“鸡 爪” ，再加上顺逆时针，旋转的方式有很多.一共有六种方法，因此，在这里再 补充一下全等型“旋转六法” 【绕点A 】 【绕点B 】 【绕点C】 因为该变换涉及到三角形的三个顶点以及顺逆时针的情况，合起来一共有 六种旋转方法，因此叫做全等型“旋转六法” 例 2 ：如图，在等边△ABC 内有一点P ，PA=2 ，PB=√3，PC=1.求∠BPC 的度数的大小和等边△ABC 的边长 分析：方法和例 1 类似，先找“鸡爪” ，然后在旋转，构造手拉手，聚合条 件 解析：如图，将 PC 绕着点 C 顺时针旋转 60°得到线段 P ’C ， 连接 P’A ，P’B. 易知△BPC ≌△A P’C. ∴P’A =PB ，又∵∠PCP’ 60°， ∴△PP’C 为等边三角形 ∴PC=PP’=P’C=1 2 2 2 ∴在△APP’中，P’A +PP’ =PA △APP’为直角三角形，故∠APP’=90°，∠AP’C=∠BPC= 150° 2 2 2 易知∠APB=90°，即AB =PA +PB 故 AB=√7 当然，我们把上面的例题进行一定的变形看看 变式 1: 如图，点 P 在△ABC 外，∠APC=30°，求证：PB²=PA²+PC². 分析：AB ，AC ，AP 构成我们的“鸡爪” ，夹角为60°，因此将AP 绕着点