2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第四讲幂函数与二次函数课件.ppt

图 2-4-2 图 2-4-3 答案：ABD 考向 3 二次函数中的恒成立问题 通性通法：(1)解决二次函数中的恒成立问题一般有两个解题 思路：一是分离参数；二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方 法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据：a≥f(x)恒成立 ?a≥fmax(x)，a≤f(x)恒成立?a≤fmin(x). [例 3]设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)对于 x∈[1，3]，f(x)－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围. 解：(1)若 m＝0，则 f(x)＝－10，满足题意； 解得－4m0. ∴所求 m 的取值范围是(－4，0]. 第四讲　幂函数与二次函数 课标要求 考情分析 1.通过具体实例，结合y＝x，y ＝x2，y＝x3，y＝　，y＝x 的图 象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质 1.本讲以幂函数的图象与性质的简单应用为主，二次函数的图象与性质常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想. 2.题型一般为选择、填空题，中等难度 1.幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα的函数叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数.幂函数的特征：①自变量 x 处在幂底数的位置，幂指数α 为常数；②xα的系数为 1；③只有一项. 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 图象 性 质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 2.常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 性 质 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数 单 调 性 在 R 上 单调递 增 在(－∞，0]上单 调递减；在[0， ＋∞)上单调递增 在 R 上 单调递 增 在[0， ＋∞)上 单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减 公共点 (1，1) (续表) 【名师点睛】巧记幂函数 y＝xα的图象 五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正 抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1 时 的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1 时的图象是横卧抛物线型)， α＜0 时的图象是双曲线型.Ｋ 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a0) 图象 定义域 R R 值域 3.二次函数的图象和性质 (续表) 【名师点睛】 (1)注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大 于零与小于零两种情况讨论. (2)一元二次不等式恒成立的条件 ①“ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a＞0且 Δ＜0”. ②“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a＜0且 Δ＜0”. 考点一 幂函数的图象和性质 1.(2022 年郑州市调研)若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则 幂函数 y＝f(x)的大致图象是( ) A B C D 答案：C 2.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x (n∈Z)的图象关于 y 轴 对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则 n 的值为( ) A.－3 B.1 C.2 D.1 或 2 解析：由于 f(x)为幂函数，故 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验，只有 n＝1 符合题意.故选 B. 答案：B A.acb C.bca B.abc D.bac 答案：A 【题后反思】幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此 只需一个条件即可确定其解析式.Ｋ (2)判断幂函数 y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般 先将其化为根式，再判断. (3)若幂函数 y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在 (0，＋∞)上单调递减，则α＜0. 考点二 二次函数的图象与性质 考向 1 二次函数的图象 通性通法：“三看”二次函数图象 [例 1]如图 2-4-1 所示是二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象的一部分，图象过点 A(－3，0)， 对称轴为直线 x＝－1.给出下列四个结论： ①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0； ④5a＜b. 其中正确的是( ) 图 2-4-1 A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 解析：结合题中图象可知该函数的图象与 x 轴交于两点，所 以 b2－4ac＞0，即 b2＞4ac，①正确；又