热点探究课数列中高考热点问题.docx

热点探究课(三) 数列中的高考热点问题 [命题解读] 数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，解答题第 1 题(全国卷 T17)交替考查数列与解三角形，本专题的热点题型有：一是等差、等 比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇， 难度中等． 热点 1 等差、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并 n n注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量 a1，a ，S ，d(q)，n，“知三求二”． n n (2016·天津高考)已知{a }是等比数列，前 n 项和为 S (n∈N*)，且1 － n n a1 1 2 a ＝ ，S6＝63. 2 a3 求{a }的通项公式； n 若对任意的 n∈N*，b n  是 log a 2n 2  和 log2  an＋1 a  的等差中项，求数列{(－1)nb2} n 的前 2n 项和． n[解] (1)设数列{a }的公比为 q. n 由已知，有1 － 1 ＝ 2 ， a1 a1q a1q2 解得 q＝2 或 q＝－1.2 分 1－q6 又由 S6＝a1· 1－q ＝63，知 q≠－1， 所以 a 1－26 ＝63，得 a  ＝1. 1 1－2 1 n所以 a ＝2n－1.5 分 n (2)由题意，得 b 1 n＝n2(log2a n ＝ n ＋log2a ) ＋n 11＝1 n 1 ＋ n 1 1 2(log22 － ＋log22 )＝n－2， 即{b }是首项为1，公差为 1 的等差数列.8 分 n2n设数列{(－1)nb2}的前 n 项和为 T n 2 n n，则 123422T2n＝(－b2＋b2)＋(－b2＋b2)＋…＋(－b2n－1＋b2n) 1 2 3 4 2 2 ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ － ＋ 1 2 3 4 2n 1 2n 2n?b ＋b ? ＝1 2n ＝ 2 ＝2n2.10 分 n n n[规律方法] 1.若{a }是等差数列，则{ba }(b0，且 b≠1)是等比数列；若{a n n n b n是正项等比数列，则{log a }(b0，且 b≠1)是等差数列． 2．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关 b n 系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化． } λ0 λa[对点训练 1] 已知数列{a 的前 n 项和为 S ，常数 ，且 a ＝S } λ0 λa n n 1 n 1 n 对一切正整数 n 都成立． n求数列{a }的通项公式； n 设 a 0，λ＝100.当 n 为何值时，数列?lg 1 ?的前 n 项和最大？ 1 ? a ? ? n? [解] (1)取 n＝1，得 λa2＝2S ＝2a ，a (λa －2)＝0. 1 1 n若 a ＝0，则 S ＝ 1 n 1 1 1 1 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0， 所以 an＝0(n≥1).2 分 若＝12a ≠0，则 a1 λ. 若 ＝ 1 2 当 n≥2 时，2a ＝2＋S 2a ＝2＋S ， n λ n, n－1 λ n－1 n两式相减得 2an－2an－1＝a ， n n n 1 n所以 a ＝2a － (n≥2)，从而数列{a n n 1 n ＝12 2n ＝ 1 n所以 a n a ·2n－1＝λ·2n－1＝ λ . 综上，当 a ＝0 时，a ＝0；当 a ≠0 时，a ＝2n 分 1 n 1 n λ .5 1(2)当 a 1 0，且 λ＝100 时，令 b ＝lg 1 ， nan n a 由(1)知，b ＝lg100＝2－nlg 2.7 分 n2nn所以数列{b }是单调递减的等差数列，公差为－ n 2n n b b …b ＝ 100＝lg100  ＝0， 1 2 6 lg 26 64 lg 1 当 n≥7 时，b ≤b ＝ 100＝lg100 ＝0. n 7 lg 27 128lg 1 ?a ?故数列?lg 1 ?的前 6 项和最大.12 分 ? a ? ? n?  热点 2 数列的通项与求和(答题模板) “基本量法”是解决数列通项与求和的常用方法，同时应注意方程思想的应用． n(本小题满分 12 分)(2016·全国卷Ⅰ)已知{a }是公差为 3 的等差数列， n 数列{b }满足 b ＝1 1 ＋b ＝nb . ，b＝，an ，b ＝ ，a n n＋1 n＋1 n b求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前 n 项和． b [思路