常微分方程习题(20).doc

常微分方程期中考试试卷(5) 计算题 .求下列方程的通解或通积分 1. 2. 3. 4. 5． 6． 7． 证明题 8. 在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为． 9. 设在区间上连续．试证明方程 的所有解的存在区间必为 10. 假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解．求证：若，，则在区间I上必有 成立． 答案：1。解 方程化为 令，则，代入上式，得 分量变量，积分，通解为 原方程通解为 2. 解 因为，所以原方程是全微分方程． 取，原方程的通积分为 即 3．解 当时，分离变量得 等式两端积分得 方程的通积分为 4．解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + 5．解 积分因子为 原方程的通积分为 即 6．解 由于，所以原方程是全微分方程． 取，原方程的通积分为 即 7．解 原方程是克来洛方程，通解为 8．证明 由已知条件可知，该方程在整个 平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 ． 对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义． 若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域 内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为． 9. 证明 由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． 显然 是方程的两个常数解． 任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为． 10. 证明 仅证方向，（反之亦然）． 假设存在，使得（=不可能出现，否则与解惟一矛盾 令=-，那么 =- 0， =- 0 由连续函数介值定理，存在，使得 =-= 0 即 = 这与解惟一矛盾 ． 出卷人：沈益斌 02412-36