第四章大数定律与中心极限定理.ppt

第一页，共二十七页，2022年，8月28日;第四章 大数定律与中心极限定理;4.1 特征函数;4.1 特征函数;例 (1) 单点分布：P( = a) = 1，其特征函数为φ(t) = eita。 (2) 0 –1分布：P( = x) =px(1 - p)1 – x，x = 0，1，其特征函数为 φ(t) = peit + q，其中q = 1 –p。;4.1 特征函数;二、 特征函数的性质;注 上式提供了一条求随机变量的各阶矩的途径，特别可用下式去求数学期望和方差。 ;定理4.1.1 （一致连续性）随机变量 X的特征函数φ(t)在(- ∞ ，+ ∞)上一致连续。 定理4.1.2 （非负定性）随机变量X 的特征函数φ(t)是非负定的。 定理4.1.4 （唯一性定理）随机变量的分布函数由其特征函数唯一决定。;例 试利用特征函数的方法求伽玛分布Ga(α，λ)的数学期望和方差。 解: 因为Ga(α，λ)的特征函数φ(t) = ， φ‘(t) = ；φ‘(0) = ； φ’(t) = ；φ‘’(0) = ， 所以由性质得 ;4.2 大数定律;4.2 大数定律;4.2 大数定律;4.2 大数定律;4.2 大数定律;4.2 大数定律;4.3 随机变量序列的两种收敛性;4.3 随机变量序列的两种收敛性;4.3 随机变量序列的两种收敛性;4.3 随机变量序列的两种收敛性;三、判断弱收敛的方法 定理 分布函数序列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(X)的充要条件是{Fn(x)}的特征函数序列{φn(t)}收敛于F(x)的特征函数φ(t)。 这个定理的证明只涉及数学分析的一些结果，参阅教材后文献[1]。;4.3 随机变量序列的两种收敛性;4.4 中心极限定理;4.4 中心极限定理;4.4 中心极限定理;谢谢各位同学;第一页，共二十七页，2022年，8月28日;第四章 大数定律与中心极限定理;4.1 特征函数;4.1 特征函数;例 (1) 单点分布：P( = a) = 1，其特征函数为φ(t) = eita。 (2) 0 –1分布：P( = x) =px(1 - p)1 – x，x = 0，1，其特征函数为 φ(t) = peit + q，其中q = 1 –p。;4.1 特征函数;二、 特征函数的性质;注 上式提供了一条求随机变量的各阶矩的途径，特别可用下式去求数学期望和方差。 ;定理4.1.1 （一致连续性）随机变量 X的特征函数φ(t)在(- ∞ ，+ ∞)上一致连续。 定理4.1.2 （非负定性）随机变量X 的特征函数φ(t)是非负定的。 定理4.1.4 （唯一性定理）随机变量的分布函数由其特征函数唯一决定。;例 试利用特征函数的方法求伽玛分布Ga(α，λ)的数学期望和方差。 解: 因为Ga(α，λ)的特征函数φ(t) = ， φ‘(t) = ；φ‘(0) = ； φ’(t) = ；φ‘’(0) = ， 所以由性质得 ;4.2 大数定律;4.2 大数定律;4.2 大数定律;4.2 大数定律;4.2 大数定律;4.2 大数定律;4.3 随机变量序列的两种收敛性;4.3 随机变量序列的两种收敛性;4.3 随机变量序列的两种收敛性;4.3 随机变量序列的两种收敛性;三、判断弱收敛的方法 定理 分布函数序列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(X)的充要条件是{Fn(x)}的特征函数序列{φn(t)}收敛于F(x)的特征函数φ(t)。 这个定理的证明只涉及数学分析的一些结果，参阅教材后文献[1]。;4.3 随机变量序列的两种收敛性;4.4 中心极限定理;4.4 中心极限定理;4.4 中心极限定理;谢谢各位同学;