线性代数同济大学第五第三章.pptVIP

（优选）线性代数同济大学第五版第三章 当前第1页\共有25页\编于星期二\12点 八、矩阵的秩 若在矩阵A中有一个r 阶子式D非零, 且所有的r+1阶子式(如果存在的话)都为零, 则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式, 称数 r 为矩阵A的秩, 记作R(A). 若A为n阶可逆矩阵, 则 (1) A的最高阶非零子式为|A|; (2) R(A)=n; 性质1: 0 ? R(Am?n) ? min{m, n}; 性质2: R(AT) = R(A); 性质3: 若A ? B, 则R(A) = R(B); 性质4: 若P, Q可逆, 则R(PAQ) = R(A); 矩阵秩的性质 当前第2页\共有25页\编于星期二\12点 性质5: max{R(A), R(B)}? R(A | B) ? R(A) + R(B), 特别当B = b时, R(A)? R(A | b) ? R(A) + 1; 性质6: R(A + B) ? R(A) + R(B); 性质7: R(AB) ? min{R(A), R(B)}; 性质8: 若Am?nBn?l =O, 则R(A)+R(B)? n. 当前第3页\共有25页\编于星期二\12点 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 (2) 初等变换法 (1) 利用定义 (矩阵的阶数 ) 求矩阵秩的方法 寻找矩阵中非零子式的最高阶数; 当前第4页\共有25页\编于星期二\12点 九、线性方程组有解判别定理及解法 定理1: n元线性方程组Am?nx=b (1) 无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b); (2) 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n; (3) 有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n. 定理1: (克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零, 那么, 线性方程组(1)有解, 且解是唯一的. n元线性方程组An?nx=b 当前第5页\共有25页\编于星期二\12点 把行最简形中r 个非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知量, 其余n–r个未知量取作自由未知量, 并令自由未知量分别取c1, c2,···, cn–r , 由B(或A)的行最简形即可写出含有n–r个参数的通解. 非齐次线性方程组的解法: 增广矩阵化成行阶梯形矩阵, 便可判断其是否有解. 若有解, 化成行最简形矩阵, 便可写出其通解. 齐次线性方程组的解法: 系数矩阵化成行最简形矩阵, 便可写出其通解. 当前第6页\共有25页\编于星期二\12点 初等变换法解矩阵方程 或者 (1) AX=B (2) XA=B 注意: 用初等行变换求逆矩阵时, 必须始终用行变换, 其间不能作任何列变换. 同样地, 用初等列变换求逆矩阵时, 必须始终用列变换, 其间不能作任何行变换. 当前第7页\共有25页\编于星期二\12点 2009年期末考题 七、（10分) 求非齐次线性方程组 的通解。 类型一：求解线性方程组 当前第8页\共有25页\编于星期二\12点 2009年期末考题(线代II) 当前第9页\共有25页\编于星期二\12点 2011年期末考题 当前第10页\共有25页\编于星期二\12点 四、（12分）设有线性方程组： 问 取何值式时，此方程(1)有唯一解，(2) 无解，(3) 有无限 多解？并在有无限多解时求其通解。 2010年期末考题 课后题16 类型二、含参数线性方程组解的讨论 当前第11页\共有25页\编于星期二\12点 2011年选考题 当前第12页\共有25页\编于星期二\12点 2012年期末考题 当前第13页\共有25页\编于星期二\12点 2012年选考题 当前第14页\共有25页\编于星期二\12点 课后题17 非齐次线性方程组 当 取何值时有解？并求出它的通解。 当前第15页\共有25页\编于星期二\12点 课后题18 设 问 取何值时，此方程组有唯一解、无解或无穷多解？ 并在有无穷多解时求其通解。 当前第16页\共有25页\编于星期二\12点 (A)存在且唯一 (B)存在但不唯一 (C)不存在 (D)存在与否不确定 4. 设B是数域K上的n阶可逆矩阵，对应K中任意n个数b1,…,bn, 线性方程组 的解( ) 2009年期末考题 A 类型三、判断线性方程组的解 当前第17页\共有25页\编于星期二\12点 4．设非齐次线性方程组Ax = b有n个未知量, m