级数的收敛性.ppt

证明 第五十七页，共九十六页，2022年，8月28日 4.比较审敛法的极限形式: 设 ? ￥ = 1 n n u 与 ? ￥ = 1 n n v 都是正项级数 , 如果 则 (1) 当 时 , 二级数有相同的敛散性 ; (2) 当 时，若 收敛 , 则 收敛 ; (3) 当 时 , 若 ? ￥ = 1 n n v 发散 , 则 ? ￥ = 1 n n u 发散 ; 第五十八页，共九十六页，2022年，8月28日 证明 由比较审敛法的推论, 得证. 第五十九页，共九十六页，2022年，8月28日 第六十页，共九十六页，2022年，8月28日 解 原级数发散. 故原级数收敛. 第六十一页，共九十六页，2022年，8月28日 证明 第六十二页，共九十六页，2022年，8月28日 收敛 发散 第六十三页，共九十六页，2022年，8月28日 比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意: 第六十四页，共九十六页，2022年，8月28日 第六十五页，共九十六页，2022年，8月28日 解 第六十六页，共九十六页，2022年，8月28日 比值审敛法失效, 改用比较审敛法 第六十七页，共九十六页，2022年，8月28日 级数收敛. 第六十八页，共九十六页，2022年，8月28日 例5. 判别 的敛散性. 解：由于 故 该级数发散. 第二十五页，共九十六页，2022年，8月28日 例6. 证明调和级数 是发散的. 证 调和级数的部分和有： 第二十六页，共九十六页，2022年，8月28日 第二十七页，共九十六页，2022年，8月28日 由数学归纳法，得 k=0, 1, 2, ? 而 故 不存在，即调和级数发散. 第二十八页，共九十六页，2022年，8月28日 若c?0为常数，则 有相同的敛散性， 且 三、无穷级数的性质 性质1 第二十九页，共九十六页，2022年，8月28日 证 的部分和为 的部分和为 故 从而 同时收敛或同时发散. 第三十页，共九十六页，2022年，8月28日 若 其和分别为S1和S2，则级 数 且 性质2 第三十一页，共九十六页，2022年，8月28日 证 的部分和为： 故 第三十二页，共九十六页，2022年，8月28日 即 级数 收敛，且 第三十三页，共九十六页，2022年，8月28日 例7. 因为等比级数 所以级数 第三十四页，共九十六页，2022年，8月28日 例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？ 答：是发散的. 问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？ 答：不一定. 第三十五页，共九十六页，2022年，8月28日 在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对收敛级数来说，它的和将改变.) 性质3 第三十六页，共九十六页，2022年，8月28日 证 设级数 的部分和为Sn,去掉级数的前 面m项后得到的级数 的部分和为S k: 第三十七页，共九十六页，2022年，8月28日 由于Sm当m固定时为一常数，所以 故 级数 与级数 第三十八页，共九十六页，2022年，8月28日 对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然收敛，且其和不变. 性质4 第三十九页，共九十六页，2022年，8月28日 例9. 考虑一下几个问题： (1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？ 答：不一定. (2) 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？ 答：不一定发散. (3) 如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也发散？ 答：原级数也发散. 第四十页，共九十六页，2022年，8月28日 证明 四、级数收敛的必要条件： 第四十一页，共九十六页，2022年，8月28日 注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 发散 2.必要条件不充分. 第四十二页，共九十六页，2022年，8月28日 讨论 第四十三页，共九十六页，2022年，8月28日 8项 4项 2项 2项 项 由性质4推论,调和级数发散. 第四十四页，共九十六页，2022年，8月28日 五、小结 常数项级数的基本概念 基本审敛法 第四十五页，共九十六页，2022年，8月28日 思考题 第四十六页，共九十六页，2022年，8月28日 思考题解答 能．由柯西审敛原理即知． 第四十七页，共九十六页，2022年，8月28日 练习题 第四十八页，共九十六页，2022年，8月28日 第四十九页，共九十六页，2022年，8月28日 练习题答案 第五十页，共九十六页，2022年，8月28日 §2 正项级数 第十二章 数项级数 第五十一页，共九十六页，2022年，8月28日 正项级数及其审敛法 1.定义: 这种级数称为正