上、下极限的性质与应用.docxVIP

业论文 Shiia 题目 上、下极限的性质与应用 学生姓名 王丹丹学号 所在学院 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学数教1101班 指导教师 洪洁 完成地点 陕西理工学院—__ 2015年6月10日 上、下极限的性质与应用 王丹丹 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班，陕西汉中723000）指导教师:洪洁 ［摘要］本文总结上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质举例阐明了上、下极限在数列敛散性、极限运算以及级数论中的作用，并且具体论述了上、下极限在实变函数以及测度论中的应用. ［关键词］上极限；下极限；数列;收敛性1引言 极限思想是数学分析中重要思想,极限思想方法贯穿于数学分析课程的始终.上、下极限的概念1］是极限概念的延伸,由于上、下极限的引入，对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路，例如,上、下极限在数列的敛散性的证明和数列运算问题上的作用;并且，上、下极限的引入能使极限问题的分析更加细致深入,对于正确地理解和认识数列、函数的上、下极限、更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态有非常重要的作用;另外，上、下极限的概念在数列与级数论以及许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用，例如:实变函数论［2］，概率论［3］，测度论［4］等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念.所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的.为了使大学生和即将考研的学生能够全面的认识与理解上、下极限以及它的相关应用，本文将从上、下极限的性质、应用两个方面作深入细致的探讨. 2上、下极限的概念2.1数列的上、下极限的概念 定义2?1?1［5］若a（b）表示数列｛xj的最大（小）聚点，则limx〃=a（limx广b）. nn—3nn—3n定义2?1?2［6］设｛x｝是有界数列，若a（b）表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者,n贝glimx=a(limx=b). nT3n 注数列｛x〃｝的上极限limx的特征是n—3 (1)3子列｛x｝使得limx=limx(k=1,2,3…). nkn—3Hkn—3n (2)对于｛x｝的任一收敛子列｛x｝恒有limxlimx. nnkn—3Hknsn同样,下极限limxn的特征是n—33子列｛x｝使得limx=limx(k=1,2,3…).(1)(2)nn 同样,下极限limxn的特征是n—33子列｛x｝使得limx=limx(k=1,2,3…). (1) (2) nn—3对于｛气｝的任一收敛子列｛x｝恒有limxlimx.nkn—3nk (3) 咔nn—3气n—3nn—3%n—3n利用这些，可以将上、下极限的问题，通过选子列的方法解决. 定义2?1?3[7]limsup｛尤人｝=a称为数列电｝的上极限,liminf｛xj=b称为数列电｝的下极限. n—3knn—3kn 注由于定义2.1.2设｛xj是有界数列，下面讨论关于定义2.1.1-2.1.3数列｛xj无界的情况： （1）数列｛气｝有下界而无上界按定义2.1.1，扩充聚点也可为-3，+3，显然，数列｛x｝的最大聚点为+3，而最小聚点可能为有限n数，可能为-3 按定义2.1.2,-3，+3可为极限点，显然，数列｛x%｝所有收敛子列的极限组成数集的上确界为+3，而其下确界可能为有限数，可能为-3. 按定义2.1.3,显然limx=+3，而inf｛xj单调增加，但可能没有上界，故limx〃可能为有限数，可n—3nk%n—3能为+3. （2）数列｛x｝有上界而无下界,同上.n （3）数列｛xj既无上界又无下界，此时按定义2.1.1，定义2.1.2，定义2.1.3,都有TOC\o1-5\h\z \o CurrentDocument limx=+3,limx=-3nn n—3n—3 据上，对无界数列情形，以上三种定义也等价. \o CurrentDocument 定义2.1.4[8]infsup｛x｝（k=1,2,3…）称为数列｛x｝的上极限,supinf｛x｝称为数列｛x｝的下knknn1knn1kn极限. 定义2?1.5[9]设a是一个实数 （1）若对盛〉0，有无穷多个n使得xna-￡，同时至多有有限个n使得xna危擞a称为数列｛x｝的上极限，记作limx=a nnn—3 （2）若对盛0，有无穷多个n使得x%b+￡，同时至多有有限个n使得x%b-￡擞b称为数列｛x｝的下极限，记作limx=b. nnn—3 注1由文献[6]可知定义2.1.1-2.1.5是等价的. 注2由于其优点各异(定义2.1.1、定义2.1.2容易想象，定义2.1.3、定义2.1.4便于运用，定义2.1.5介乎其间)，不同的教材侧重于不同的优点,自然就会出现不同形式的定义了. 推论当li