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初二上勾股定理(经典题型) 数学秋季班教案 第十九章 几何证明——勾股定理及两点之间的距离公式 知识回顾】 勾股定理是指对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。勾股定理的逆定理是指如果三角形的三边长a、b、c有关系，a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。常见的勾股数有(3n,4n,5n)、(5n,12n,13n)、(8n,15n,17n)、(7n,24n,25n)、(9n,40n,41n)等。勾股定理的证明图如下： 两点之间的距离公式是AB = √[(x?-x?)2+(y?-y?)2]。 例题讲解】 例题1：已知a?=1，a?=5，a?=13，a?=25，a?=41，a?=61.a?=a???+a???，求a?。 解析：根据题意，a?=a?+a?=66. 例题2：如图所示，已知△ABC的三边AB=15，BC=20，AC=25，求△ABC最长边上的高。 解析：根据海伦公式，可得△ABC的面积为150，再根据最长边上的高公式，可得最长边上的高为12. 例题4：已知如图△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2． 解析：根据勾股定理，可得BE2=AB2-AE2，FC2=AC2-AF2，代入EF2=BE2+FC2中得证。 例题6：一只2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯脚移动的距离是多少？ 解析：根据勾股定理，可得梯子顶端到地面的距离为√(2.52-0.72-0.42)=2.31m，因此梯脚移动的距离为2.31-0.7=1.61m。 例题7：如图一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？ 解析：根据勾股定理，可得蚂蚁所行的最短路线的长为√(32+32+82)=√82. 例题8：在直角坐标平面有点A(3,4)，且AB=5，根据下列条件，求点B的坐标：（1）点B在x轴上；（2）点B在y轴上；（3）点B在第一、三象限的角平分线上；（4）点B与y轴的距离等于1. 解析：（1）点B在x轴上，因此B的坐标为(8,0)或(-2,0)；（2）点B在y轴上，因此B的坐标为(0,3)或(0,-1)；（3）点B在第一、三象限的角平分线上，因此B的坐标为(3+4/√2,4+3/√2)或(3-4/√2,4-3/√2)；（4）点B与y轴的距离等于1，因此B的坐标为(3±4/5,4±3/5)。 例题9：已知如图，等边△ABC的边长是4，D是边BC上的一个动点（与点B、C不重合），联结AD，作AD的垂直平分线分别与边AB、AC交于点E、F．（1）求△BDE和△DCF的周长和；（2）设CD长为x，△BDE的周长为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域。 解析：（1）根据勾股定理，可得BE=CE=2√3，DE=DF=√7，因此△BDE和△DCF的周长分别为4+2√7和4+4√3；（2）根据勾股定理，可得BD2=4-x2/4，DE2=7-BD2/4，因此y=2√(7-x2/4)+4.定义域为0≤x≤4. 1.已知直角三角形ABC，C为直角，且a+b=14cm，c=10cm，求△ABC的面积。 解：根据勾股定理可得，a2+b2=c2。代入已知条件，得a2+b2=100-2ab。又因为(a+b)2=a2+b2+2ab=196，所以2ab=96.将其代入原式，得a2+b2=4，即(a/2)2+(b/2)2=1.由此可知△ABC为半径为1的圆内接直角三角形，面积为1/2. 2.如图，已知正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，求最大正方形E的面积。 解：观察图形可知，正方形E的边长为2，且与正方形C重合。所以最大正方形E的面积为4. 4.已知△ABC的两边长分别为5、12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为7，此三角形为直角三角形。 解：根据余数的性质可知，c为奇数，则c只能为7.又因为a+b+c是3的倍数，所以a+b=8.根据勾股定理可得，a2+b2=49.由此可知a=3，b=4，c=7，即△ABC为直角三角形。 6.如图，已知正方形B的对角线长为13，求正方形B的面积。 解：根据勾股定理可得，正方形B的边长为$13/\sqrt{2}$，所以正方形B的面积为$(13/\sqrt{2})^2=169/2$。 7.不能作为直角三角形的三边长组合为1.5、2、3. 解：根据勾股定理可知，三边长组合为1.5、2、3不满足勾股定理。 8.适合条件的直角三角形个数为4个，分别为①和④。 解：①满足勾股定理，②不是直角三角形，③不满足勾股定理，④满足勾股定理，⑤不是直角三角形。 9