高考数学二轮复习练习6个解答题专项强化练(三)解析几何.docx

6个解答题专项加强练(三)解析几何 1．已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0. 若a＝－8，过点P(4,5)作圆M的切线，求该切线方程； (2)若AB为圆M的随意一条直径，且 ―→―→ ＝－6(其中O为坐标原点)，求圆M的 OA·OB 半径． 解：(1)若a＝－8，则圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝9，圆心M(1，0)，半径为3. 若切线斜率不存在，圆心 M到直线x＝4的距离为3，所以直线x＝4为圆M的一条切 线； 若切线斜率存在，设切线方程为 y－5＝k(x－4)，即kx－y－4k＋5＝0，则圆心到直线 的距离为|k－4k＋5|＝3，解得k＝8，即切线方程为 8x－15y＋43＝0. k2＋1 15 所以切线方程为 x＝4或8x－15y＋43＝0. (2)圆M的方程可化为(x－1)2＋y2＝1－a，圆心M(1，0)，则OM＝1，半径r＝1－a(a<1)． 因为AB为圆M的随意一条直径，所以 ―→ ―→ ―→ ―→ MA＝－MB，且|MA |＝|MB|＝r， ―→―→ ―→ ―→ ―→ ―→―→ ―→ ―→ ―→―→2―→2 则OA·OB＝(OM ＋MA)·(OM ＋MB)＝(OM －MB)·(OM＋MB)＝OM－MB＝1 －r2， ―→―→ 7，所以圆M 的半径为 7. 又因为OA·OB＝－6，解得r＝ x2y2 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的 3 左焦点为F(－1，0)，且经过点1，2. 求椭圆的标准方程； AB 已知椭圆的弦AB过点F，且与x轴不垂直．若D为x轴上的一点，DA＝DB，求DF 的值． c＝1， 2＝4， 解：(1)法一：由题意，得 1 9 a a 2＋ 2＝1， 解得 4b b2＝3. a2＝b2＋c2， 2 2 所以椭圆的标准方程为 x ＋y ＝1. 4 3 法二：由题意，知2a＝ ＋ 2＋3 2＋ － 2＋32＝4，所以a＝2. 2 2 又c＝1，a2＝b2＋c2，所以b＝ 3， 22 所以椭圆的标准方程为x＋y＝1. 3 法一：设直线AB的方程为y＝k(x＋1)． ①当k＝0时，AB＝2a＝4，FD＝FO＝1，所以ABDF＝4； ②当k≠0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，把直线AB的方程代 入椭圆方程，整理得 (3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， 所以x1＋x2＝－ 8k2 4k2－12 2，x1·x2＝ 3＋4k 2， 3＋4k 4k2 所以x0＝－2， 3＋4k 3k 所以y0＝k(x0＋1)＝3＋4k2， 2 所以AB的垂直平分线方程为y－3k2＝－1x＋4k2. 3＋4kk3＋4k 因为DA＝DB，所以点 D为AB的垂直平分线与 x轴的交点，所以D － k2 2 ， 3＋4k，0 所以DF＝－ k2 3＋3k2 3＋4k2＋1＝3＋4k2. 又因为AB＝ 2 2 x1＋x2 2 12＋12k2 1＋k|x1 －x2|＝1＋k· －4x1x2＝ 2 ， 3＋4k 所以AB＝4. DF 综上，得DFAB的值为4. 法二：①若直线AB与x轴重合，则AB＝4； DF ②若直线AB不与x轴重合， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)， 2 2 x1＋y1＝1， x12－x22 y12－y22 4 3 两式相减得 由 y22 ＋ ＝0， x22 4 3 4 ＋ 3＝1， 所以 x1－x2x0 y1－y2y0 4 ＋ ＝0， 3 所以直线AB的斜率为y1－y2＝－3x0， x1－x24y0 所以直线AB的垂直平分线方程为 y－y0＝4y0(x－x0)． 3x0 因为DA＝DB，所以点D为AB的垂直平分线与 x轴的交点，所以Dx0，0，所以DF 4 ＝ x0 ＋1. 4 因为椭圆的左准线的方程为 x＝－4，离心率为 1， 2 AF 1 1 由 x1＋4＝ 2，得AF＝ 2(x1＋4)， 1 同理BF＝2(x2＋4)． 1 所以AB＝AF＋BF＝2(x1＋x2)＋4＝x0＋4， 所以AB＝4. DF AB 的值为4. 综上，得DF x2 y2 3.如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的右顶 点和上极点分别为 A，B，M为线段AB的中点，且 ―→―→ ＝－ 3 2 OM·AB 2 b. 求椭圆的离心率； 若a＝2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥DC.记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2， 求证：k1k2为定值． 解：(1)由题意，A(a,0)，B(0，b)，由M为线段AB的中点得M a，b 22. ―→a，b―→ 所以OM ＝2 2，AB＝(－a，b)． ―→―→ 32 因为OM ·AB ＝－b， 2 2 2 所以a，b·(－a，b)＝－a＋b＝－3