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傅里叶级数
一、问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
可看成如下各不同频率正弦波的逐个叠加
叠加过程如下:
它的物理意义是很明确的:可以把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。
二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
这种展开称谐波分析
这是三角级数的实用形式
2.三角函数系的正交性
三角函数系
在区间 上正交。
其含义是三角函数糸中任何不同的两个函数的乘积在区间
上的积分等于零。即
注意:
三、函数展开成傅里叶级数
问题:
2.展开的条件是什么?
1.傅里叶系数
傅里叶系数
通过上面傅里叶糸数的计算,可以写出傅里叶级数:
现在的问题是:
那就是说,满足什么条件傅里叶级数才收敛于函数f(x)? 此时函数f(x)才能展开成傅里叶级数。
2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
注意:
函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.
解
所给函数满足狄利克雷充分条件.
和函数图象为
所求函数的傅氏展开式为
注意:
作法:
将f(x)延拓成 为周期的周期函数 F(x),将F(x)按上面的方法展开成傅氏级数,最后将展开式限制在区间 内。
展开式的
解
所给函数满足狄利克雷充分条件.
所求函数的傅氏展开式为
利用傅氏展开式求级数的和
思考题
思考题解答
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