第八章欧氏空间和酉空间.ppt

第八章欧氏空间和酉空间;在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国王设置的捷径。 ---欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265);8.1 向量的内积;8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 ;例1 在;例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数;设 ;8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角;定义3 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量，;注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度 等于a的绝对值与ξ的长度的乘积.;;;8.1.3 向量的正交 ;思考题1：设 ;8.2 正交基;8.2.1正交组的定义、性质 ;例2 考虑定义在闭区间;事实上，我们有;;2．正交组的性质;8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 ;;（3） ;2．标准正交基的性质;及 ;3．标准正交基的存在性 ;又由 ;取;又因为假定了 ; 任意n（n > 0）维欧氏空间 一定有正交基，因而有标准正交基.;第二步，先取;第三步，取 ;练习1 设 ;8.2.3 子空间的正交补 ;设;那么;证明 对于任意 ;于是;例5 考虑;;这正是上面所说的W 对于f (x)的最佳逼近问题. ;从而;;8.2.4 正交矩阵的概念 ;练习2 设 ;8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别;2．n维欧氏空间同构的概念及判别;8.3 正交变换;8.3.1 正交变换的定义;;8.3.2 正交变换的等价条件 ;然而; 设V 是一个n维欧氏空间，σ是V 的一个线性变换，如果σ是正交变换，那么σ把V 的任意一个标准正交基仍旧变成V 的一个标准正交基；反过来，如果σ把V 的某一标准正交基仍旧变成V的一个标准正交基，那么σ是V 的一个正交变换.;例5 在欧氏空间 中,规定线性变换σ为:;;8.3.3 ;由于 cos α = cos(±α)，± sin α= sin（±α） 因此可以令 a = cos φ，c = sin φ 这里φ =α或 –α . 同理，由（4）的第二个等式，存在一个角ψ使 b = cosψ，d = sinψ 将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0;最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此得; 在前一情形中，σ是将 的每一向量旋转角φ的旋转； ;而σ关于基 的矩阵有形状 ;由于U 是正交矩阵，我们有 ;由上面的讨论，存在一个解φ使 ; 如果在T中左上角的元素是1，那么重新排列基向量，σ关于 的矩阵是; 这样， 的任意正交变换σ关于某一正交基  的矩阵是下列的三种类型之一：;思考题 设 是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换σ,使σ适合 ;8.4 对称变换和对称矩阵 ;8.4.1 对称变换的定义 ;8.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系;同样的计算可得 ;8.4.3 对称变换的性质 ;令;又因为 且等式（3）与等式（4）左端相等，因此 ; n 维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根的特征向量彼此正交. ; 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换，那么存在V的一个标准正交基，使得σ关于这个基的矩阵是对角形式.;为了求出U,我们可以用以下方法.首先由于U是正交矩阵,所以因此 与A相似.于是可以利用7.6所给的步骤求出一个可逆矩阵T,使得 是对角形式,这样求出的矩阵T一般来说还不是正交矩阵,然而注意到T的列向量都是A的特征向量,A的属于不同特征根的特征向量彼此正交,因此只要再对T中属于A的同一特征根的列向量施行正交化手续,就得到 的一个规范正交组,以这样的规范正交组作列,就得到一个满足要求的正交矩阵U.;;第二步，先对于特征根2，求出齐次线性方程组;对于特征根8,;第八章欧氏空间和酉空间;在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国王设置的捷径。 ---欧几里德(Euclid ,约前325 - 约前265);8.1 向量的内积;8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 ;例1 在;例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数;设 ;8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角;定义3 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量，;注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度 等于a的绝对值与ξ的长度的乘积.;;;8.1.3 向量的正交 ;思考题1：设 ;8.2 正交基;8.2.1正交组的定义、性质 ;例2 考虑定义在闭区间;事实上，我们有;;2．正交组的性质;8.2.2标准正交基的定义、