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初中数学竞赛试题及答案 1. 选择题 1. 方程组 $\begin{cases} x+y=12 \\ x+y=6 \end{cases}$ 的解的个数为（ ）． （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答案：（A）． 解析：将两个方程相加，得 $2(x+y)=18$，即 $x+y=9$，与第一个方程矛盾，所以无解。若 $xy$，则将两个方程相减，得 $y-x=6$，又与第一个方程矛盾，所以无解。若 $xy$，则将两个方程相减，得 $x-y=6$，再将两个方程相加，得 $2x=18$，即 $x=9$，代入第一个方程得 $y=3$，符合条件，所以有唯一解。故选（A）。 2. 取球问题：口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个。现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）。 （A）14 （B）16 （C）18 （D）20 答案：（B）。 解析：根据条件，白球的选法有 $C_2^9+C_3^9+\cdots+C_8^9$ 种，红球的选法有 $C_2^5+C_3^5+\cdots+C_5^5$ 种，黑球的选法有 $C_0^6+C_1^6+C_2^6+C_3^6$ 种。根据乘法原理，总的选法数为上述三种情况的乘积。计算可得，共有16种情况。故选（B）。 3. 已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E。若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（ ）。 （A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 答案：（B）。 解析：如图，连接 $BE$，因为 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，所以 $\angle BAC$，$\angle ABE$ 均为锐角。又因为 ⊙O 的半径与 △ADE 的外接圆的半径相等，且 $DE$ 为两圆的公共弦，所以 $\angle BAC=\angle ABE$。于是，$\angle BEC=\angle BAC+\angle ABE=2\angle BAC$。若 $\triangle ABC$ 的外心为 $O_1$，则 $\angle BO_1C=2\angle BAC$，所以，⊙O 一定过 $\triangle ABC$ 的外心。故选（B）。 4. 已知三个关于 $x$ 的一元二次方程： $$ax^2+bx+c=0,\quad bx^2+cx+a=0,\quad cx^2+ax+b=0$$ 恰有一个公共实数根，则 $\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}$ 的值为（ ）。 （A）$\dfrac{1}{2}$ （B）1 （C）2 （D）3 答案：（D）。 解析：设 $x$ 是它们的一个公共实数根，则 $$ax^2+bx+c=0,\quad bx^2+cx+a=0,\quad cx^2+ax+b=0$$ 把上面三个式子相加，并整理得 $$(a+b+c)(x^2+\dfrac{1}{a}x+\dfrac{1}{b})=0$$ 因为 $x$ 是实数，所以 $x^2+\dfrac{1}{a}x+\dfrac{1}{b}$ 必须为 $0$，即 $$x^3+\dfrac{b}{a}x^2+\dfrac{c}{ab}x+\dfrac{1}{ab}=0$$ 同理可得 $$x^3+\dfrac{c}{b}x^2+\dfrac{a}{bc}x+\dfrac{1}{bc}=0$$ $$x^3+\dfrac{a}{c}x^2+\dfrac{b}{ca}x+\dfrac{1}{ca}=0$$ 将三个式子相加，得 $$(x^3+x^3+x^3)+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\right)x^2+\left(\dfrac{c}{ab}+\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}\right)x+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=0$$ 因为 $x$ 是实数，所以上式的系数必须都为 $0$。根据题意，$x$ 是三个方程的公共实数根，所以 $x^3$ 是三个方程的公共实数根，即 $x^3=-\dfrac{1}{abc}$。将 $x^3$ 代入上式，得 $$\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}=-\dfrac{c}{a}-\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{c}$$ 即 $$\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}=-(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c})$$ 所以 $$\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}