高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.7.pptVIP

*§6.7 子空间的直和 又 2）先证 任取 其中 再证 又　　　是 　的子空间， *§6.7 子空间的直和 任取 从而 所以 *§6.7 子空间的直和 练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的 证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系 ① ② 解空间： 证明: *§6.7 子空间的直和 再解齐次线性方程组②. 由 即 得②的一个基础解系 考虑向量组 *§6.7 子空间的直和 由于 线性无关，即它为Pn的一组基. 又 *§6.7 子空间的直和 2、和　　　　　　　是直和 证: 则 练习： *§6.7 子空间的直和 则零向量还有一个分解式 （*） 在(*)式中，设最后一个不为0的向量是 则(*)式变为 这时， 所以，　　　　　　是直和. 数学与计算科学学院 数学与计算科学学院 数学与计算科学学院 数学与计算科学学院 数学与计算科学学院 数学与计算科学学院 数学与计算科学学院 数学与计算科学学院 数学与计算科学学院 数学与计算科学学院 数学与计算科学学院 数学与计算科学学院 * §2 线性空间的定义 与简单性质　　　 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 小结与习题 第六章 线性空间 *§6.7 子空间的直和 §6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和 *§6.7 子空间的直和 引入 有两种情形： 由维数公式 设　　 为线性空间V的两个子空间， 此时 即，　　　必含非零向量. *§6.7 子空间的直和 情形2）是子空间的和的一种特殊情况　　 直和 此时 　　　不含非零向量，即 *§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 设　　 为线性空间V的两个子空间，若和 是唯一的，和　　　就称为直和，记作 注: 若有 则 ① 分解式　　　　　 唯一的，意即 中每个向量　的分解式 *§6.7 子空间的直和 ② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间 这里， 在和　　　中，向量的分解式不唯一，如 所以和　　　不是直和. *§6.7 子空间的直和 而在和　　　中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的， 事实上，对　　　　　　　　　　　 故　　　是直和.　 都只有唯一分解式： *§6.7 子空间的直和 二、直和的判定 分解式唯一，即若 1、(定理8) 和　　　是直和的充要条件是零向量 则必有 证：必要性. 是直和, 的分解式唯一. 而0有分解式 *§6.7 子空间的直和 充分性. 故　　　　是直和. 设　　　　　，它有两个分解式 有 其中 于是 由零向量分解成唯一，且 即 的分解式唯一. *§6.7 子空间的直和 2、和　　　是直和 则有 即 是直和. “　　”　任取 证：“　　”　若 于是零向量可表成 由于　　　是直和，零向量分解式唯一， 故 *§6.7 子空间的直和 证：由维数公式 3、和　　　是直和 有， 是直和. （由2、得之） *§6.7 子空间的直和 总之，设　　　为线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价: 2）零向量分解式唯一 1）　　　是直和 3） 4） 4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 称这样的W为U的一个余子空间. 则必存在一个子空间W，使 *§6.7 子空间的直和 证：取U的一组基 把它扩充为V的一组基 则 余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 注意： 如，在R3中，设 则 但 *§6.7 子空间的直和 5、设　 　　　　　　　　　分别是线性子空间 的一组基，则 是直和 线性无关. 证：由题设， 若　　　　　　　　　　线性无关， 则它是 的一组基. 从而有 *§6.7 子空间的直和 反之,若　 直和，则 从而　　　　　　　　　　的秩为r＋s . 所以　　　　　　　　　　线性无关. 是直和. *§6.7 子空间的直和 1、定义 中每个向量　的分解式　　 三、推广　　多个子空间的直和 都是线性空间V的子空间，若和 是唯一的，则和　　　就称为直和，记作 *§6.7 子空间的直和 四个条件等价: 2）零向量分解式唯一，即 3） 4） 2、判定 设　　　　　都是线性空间V的子空间，则下面 1）　　　　是直和 *§6.7 子空间的直和 例1、每一个n　维线性空间都可以表示成　n