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新知初探 自主学习
(1)从函数观点看一元二次方程．
(2)会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实
根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．
2
知识点一 b －4ac(Δ)的取值与根的个数间的关系
2
b －4ac(Δ) 根的情况
2 两个不相等
方程ax ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有 的实数根，即x 1
2 −b − bଶ −4ac −b bଶ −4ac
b －4ac ＞0
＝ 2a ，x ＝ 2a
2
2 ୠ
2 方程ax ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，即x ＝x ＝－
b －4ac ＝0
1 2 ଶୟ
2 2 无实数根
b －4ac＜0 方程ax ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)
知识点二 一元二次方程根与系数的关系
2
若x ，x 是一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则x ＋x ＝
1 2 1 2
c
—ୠ
ୟ ，x x ＝ a ．
1 2
状元随笔 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：
ଶ ଶ ଶ ଶ 2
(1) + ＝( + 2 ＋ ) －2x x ＝(x ＋x ) －2x x ；
ଵ ଶ ଵ 1 2 ଶ 1 2 1 2 1 2
2 2
(2)(x －x ) ＝(x ＋x ) －4x x ；
1 2 1 2 1 2
(3)|x －x |＝ x −x ଶ＝ x + x ଶ −4x x ；
1 2 ଵ ଶ ଵ ଶ ଵ ଶ
ଵ ଵ ୶ା ୶
భ మ
(4) + ＝ ；
୶ ୶ ୶୶
భ మ భమ
୶ ୶ మ మ
మ భ ௫ ା ௫ ୶ ା ୶ ା ଶ୶୶
మ భ భ మ భమ
(5) + ＝మ ＝ .
୶భ ୶మ ௫௫ ୶୶
ଵ ଶ భమ
基础自测
2 2
1.方程x －2 3kx ＋3k ＝0 的根的情况是( )
A ．有一个实数根 B
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