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例谈辅助圆在中考解题中的应用及添加策略 例谈辅助圆在中考解题中的应用及添加策 略 2010年第3期中学数学研究15 例谈辅助圆在中考解题中的应用及添加策略 江苏省溧水县第一初级中学(211200)吕小保 在初中学段,学会并掌握一些常见的几何辅助 线的添加方法,不仅是几何学习所必需的基本功, 也是中考所必备的应试技能.而在我们的日常教学 中,却普遍存在重直(直线,线段等)轻曲(圆, 圆弧等)的辅助线添加现象.这种片面的做法,不仅 使学生的知识与技能学习中存在眷先天性的 缺陷,也使原本简单的问题复杂化,带来学生怕几 何,中考成绩不理想等诸多问题.为此,本文特从各 地的中考试题中遴选几例,对辅助圆的添加策略与 方法作一系统介绍,供大家参考. 1依据圆的定义.添加辅助圆 根据数学概念,构造基本图形解决问题是辅助 线添加中最为常见而基本的方法.而圆有描述性定 义和集合定义两种,我们可根据具体问题,从两种 定义的不同特点人手进行添加. 1.1依据描述性定义,构造圆 圆的描述性定义:把线段绕它的一个端点在平 面内旋转一周,另一个端点运动所形成的图形叫做 圆.针对定义中的关键词旋转,若一道问题中有 旋转变换,我们就可以考虑构造以旋转中心为圆 心的圆,将问题作适当的转化研究. 例1(2005年宿迁市)某数学兴趣小组,利用 树影测量树高.如图1,已测出树AB的影长AC为9 米,并测出此时太阳光线与地面成30.夹角. (1)求出树高AB; (2)因水土流失,此时树AB沿太阳光线方向倒 下,在倾倒过程中,树影长度发生了变化,假设太阳 光线与地面夹角保持不变,试求树影的最大长度. 分析:本题第(1)问比较简单,第(2)问对多数 学生而言,有一定的挑战性,主要表现在无法理解 树影的最大长度,无法用图形进行表示.其实,只 需抓住题中树倾倒,并由此说明树在做旋转, 从而对照圆的描述性定义,构造以点A为圆心,AB 长为半径的1/4圆(如图2),建立直线与圆的相 切模型,把问题转化为求光线与辅助圆相切时形 成的影子长度AF. ?3i 图1图2 1.2根据圆的集合定义,构造圆 圆的集合定义:圆是到定点的距离等于定长的 点的集合,其中定点为圆心,定长为半径.由此,对 于动点与定点的距离等于定长的问题,我们就可构 造一个以定点为圆心,定长为半径的圆,将所要研 究的动点统统锁定在辅助圆上,进而分析. 例2(2007年义乌市) 如图3,直线f上f,垂足为点 0,A,B是直线f.上的两点,且 OB=2,AB:.直线f绕点 0按逆时针方向旋转,旋转角 度为(0.lt;lt;180.). 12/ iB , /\, }0, { l (1)当=60.时,在直图3 线z上找点P,使得ABPA是以/B为顶角的等腰 三角形,此时OP=. (2)当OL在什么范围内变化时,直线Z上存在 点P,使得ABPA是以日为顶角的等腰三角形,请 用不等式表示OL的取值范围. 分析:解决本题的最大问 题是答案不全,学生大多只能 找到其中一点P,而出现丢 分.若学生掌握了圆的本质特 征——到定点距离等于定 长,根据本题是以/_B为顶 角的等腰?BPA三角形,应 能构造以点B为圆心,BP为图4 半径的圆,将符合条件的点P统统锁定在辅助圆B 上(如图4所示),得oP=?3+1或?3—1. 第(2)问,借助于第(1)问的辅助圆,建立直线 与QB相交与相切的模型,求得/=45.或 135.,得45.?lt;90.或90.lt;?135.. 点评:相对于圆的描述性定义的直观性,圆的 16中学数学研究2010年第3期 集合定义更为理性和抽象,突出包含了所有符合条 件的点.因而利用圆的这一点集特性,可把所讨论 的点进行数量和位置上的锁定——统统都在辅助 圆上,以保证所要讨论的点不漏不重. 2从圆的有关性质入手,构造辅助圆 圆的性质主要集中在圆周(或心)角,弧,弦 (或直径)等对象之间的相互关系上,因此在解决有 关角,线之问的问题时,我们可考虑添加辅助圆,把 问题转化为曲线(圆)问题,应用圆的性质寻找解 法. 2.1从圆周角动而不变的特性人手 定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角 的一半,而一条弧所对的圆周角有无数多个,这些 角具有顶点位置改变而其大小不变的特性,即动 而不变性.根据这一特性,我们可以用来研究有关 角度定值问题. 例3(2006年淄博市)如图5,是线段AC的 中点,过点c的直线f与AC成60.的角,在直线f上 取一点P,使得/APB=30.,则满足条件的点P的 个数是(). A.1个;B.2个;C.3个;D.无数个. 分析:对于本题中满足条件的点P有两个,可 如何证明有且只有两个则是解答本题的难点和 关键.构造以AB为