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数学 WEN LI DAO HANG
巧用泰勒展开式解高考中函数不等式相关问题
/郑希
肄) ，则下列不等式恒成立的是（ ）
【 摘要】随着新课改的推进，函数的综合问题仍是历
x 2 1 1 1 2
年高考的重点和难点之一，特别是函数与导数大题中经常 (A)e 臆1+x +x (B) 臆1- x+ x
出现有关函数不等式的证明，用于考查学生的推理论证及 姨1+x 2 4
运算求解能力。通过对历年试题背景的研究发现了高等数 1 2 1 2
学知识中泰勒公式的身影，本 就泰勒展开式在解决函数 (C)cosx 逸1- 2 x (D)ln(1+x) 逸x- 8 x
不等式的相关问题进行剖 。
【关键词】泰勒公式；余项；麦克劳林公式；函数不等式； 说明：高考的标准答案是利用导数公式，通过函数的单
放缩 调性与最值来证明不等式恒成立。
函数不等式是一类以函数的基础知识为背景结合导数 解：设f(x)=cosx-(1- 1 2 1 2
x )=cosx-1+ x
2 2
知识的不等式，解题时往往以不等式和导数为工具，通过逻
则g(x)=f忆(x)=-sinx +x,所以g忆(x)=-cosx +1逸0
辑推理来解决问题。正所谓：“不畏浮云遮望眼，只缘身 最
所以当x 沂[0,+肄)时，g(x)为增函数，所以g(x)=f忆(x)逸g(0)=0
高层”，如果没有站 相应高等数学知识的高度，那么就很
同理f (x) 逸f (0) =0 亦cosx-(1- 1 2
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