第4讲-第三定义(解析版)-2021年新高考数学椭圆小题全归纳.docx

第4讲 第三定义 一、单选题 1．椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设P点坐标为，则，，， 于是，故. ∵ ∴.故选B. 【考点定位】直线与椭圆的位置关系 2．双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上且直线斜率的取值范围是[-4，-2]，那么直线斜率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 试题分析：根据双曲线的方程可知，的坐标分别为，，设点的坐标为，则，．不难发现，且因为点在双曲线上，所以，再结合，解得，故选C． 考点：双曲线的简单性质． 【思路点睛】本题中我们可以看到给出的两条直线具有相关性，即具有公共点，且它们各自所经过的定点，是关于原点对称的，此时不难想到两条直线的斜率之间必然会有某种关系．那么解题的关键是找出两条直线斜率之间的等式关系，再根据已知直线的斜率的取值范围，求解未知直线的斜率． 3．已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意，关于原点对称，设，， ，故选A. 【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质与离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用，斜率之积的范围为，得到 ，进而构造出关于的不等式，最后解出的范围. 4．设椭圆的左,右顶点为是椭圆上不同于的一点,设直线的斜率分别为,则当取得最小值时,椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设，利用斜率公式求得，结合在椭圆上，化简可得，令，则，利用导数求得使取最小值的，可得时，取得最小值，根据离心率定义可得结果. 【详解】 由椭圆方程可得， 设，则, 则， ， ， 令，则， ， 在上递减，在上递增， 可知当时，函数取得最小值， ， ，故选D. 【点睛】 本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式的应用，以及椭圆的离心率，利用导数求函数的最值，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 5．设椭圆的左、右顶点分别为，是椭圆上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设出的坐标,得到(用,表示,求出，令，则． 利用导数求得使取最小值的，可得，则椭圆离心率可求 ． 【详解】 解：，，设，，则，则，，， ， 令，则．，当时， 函数取得最小值（2）． ．， 故选． 【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题 ． 6．已知A，B分别为椭圆C：(a＞b＞0)的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最大值时，椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设，根据条件可得．进而由直线的斜率公式可得，由点P在椭圆C上，可得的横、纵坐标之间的关系，进而，所以，将其看成关于的二次函数，求其取最大值时，的值，进而可求离心率的值． 【详解】 设，则．因为P，Q在椭圆C上，所以． 所以，． 所以， ．令 所以， 所以，当时， 取最大值．此时， ． 所以椭圆C的离心率为． 故选D． 【点睛】 本题考查椭圆的几何性质，求椭圆的离心率应求的值或求任意两个之间的关系．离心率．考查学生对椭圆几何性质的掌握程度及运算能力． 7．椭圆上存在两点，关于直线对称，若为坐标原点，则= A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后求得到点的坐标与参数的关系，然后根据的中点在直线上求出参数的值，进而得到点的坐标，进而得到向量的坐标，于是可得结果． 【详解】 由题意直线与直线垂直，设直线的方程为． 由消去整理得， ∵直线与椭圆交于两点， ∴，解得． 设，的中点为， 则， ∴，， ∴点的坐标为． 由题意得点在直线上， ∴，解得． ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】 本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是得到直线的方程．其中题中的对称是解题的突破口，对于此类问题要注意两对称点的连线与对称轴垂直、两对称点的中点在对称轴上，解题是要注意这两点的运用，属于中档题． 8．已知椭圆：的右焦点为，且离心率为，