斐波那契数列的性质.docx

斐波那契数列的性质 一、通项公式：an = 1 〔1+√5〕n - 1 〔1 √5〕n √5 2 √5 2 二、设p,q,u,v为自然数且p = min{ p ,q , u , v} . 若p + q = u + v , 则对于斐波那契数列{ an} ,以下公式恒成立: apaq - auav = (-1)p+1au-paq-u ????三、????+1????1 - ??2 ?? ?? = (1) ?? (n >= 1, n 属于 N) ??+1四、??2??+1 = ??2 ??+1 + ??2 （n属于N） ??五、 2 ?? ??+1 2 - - ?? = ??2 (n >= 1, n属于N) ??六、????+?? = ????1 ???? + ????????+1 (n >= 1, n和m属于N) ?? 七、??2??+2??2??1 - ??2????2??+1 = 1(n >= 1, n属于N) 八、?? 八、?? ??+?? 2 - - ?? = ??  2?? * ??  2?? (m > n >= 1) 九、????1 ? ????+2 - ???? ? ????+1 = (1) ?? (n >= 2) 十、{ ??2?? } 有极限且等于黄金分割率√51 ??2??+1 2 下面是一篇文章： 斐波那契额数列的性质与应用 斐波那契额数列的性质与应用 “斐波那契数列 (Fibonacci)” 的发明者，是意大利数学家列昂纳 多·斐波那契（ Leonardo Fibonacci ，生于公元 1170 年，卒于 1240 年，籍贯大概是比萨） 。他被人称作 “比萨的列昂纳多 ”。1202 年，他撰写了《珠算原理》 (Liber Abaci) 一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家 商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚 地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。 他还曾在 埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯 研究数学。 斐波那契数列通项公式 斐波那契数列指的是这样一个 数列： 1、1、2、3、5、8、13 、21 、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的 通项公式为 :( 见图)（又叫 “比内公式 ”，是用无理数表示有理数的一个范例。） 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 奇妙的属性 随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值 0.6180339887…… 从第二项开始， 每个奇数项的平方都比前后两项之积多 1， 每个偶数项的平方都比前后两项之积少 1。（注：奇数项和偶数 项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如 第四项 3 是奇数，但它是偶数项，第五项 5 是奇数，它是奇数 项，如果认为数字 3 和 5 都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通） 如果你看到有这样一个题目：某人把一个 8*8 的方格切成四块，拼成一个 5*13 的长方形，故作惊讶地问你：为什么 64 ＝ 65 ？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质： 5、8、13 正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差 1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。 斐波那契数列的第 n 项同时也代表了集合 {1,2,...,n} 中所有不包含相邻正整数的子集个数。 斐波那契数列（ f(n) ，f(0)=0 ，f(1)=1 ，f(2)=1 ，f(3)=2…… ） 的其他性质： 1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2) -1 2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n -1)=f(2n) 3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1) -1 4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1) 5.f(0) -f(1)+f(2) -…+( -1)^n·f(n)=( -1)^n·[f(n+1) -f(n)]+1 6. f(m+n)=f(m -1)·f(n -1)+f(m)·f(n) 利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为 O（ log n ） 的程序。 7. [f(n)]^2=( -1)^(n -1)+f(n -1)·f(n+1) 8. f(2n -1)=[f(n)]^2 -[f(n -2)]^2 9. 3f(n)=f(n+2)+f(n -2) 10.f(2n -2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n -2m) [ n 〉m≥-1, 且 n≥1] 斐波那契数列在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4