第二章消与初等变换证明.pdfVIP

第五节 初等变换与初等矩阵 定义与性质 矩阵的等价标准形分解 再论可逆矩阵 n ×n线性代数方程组的唯一解 矩阵的初等变换 于解线性方程组的3类同 解变形. 利用初等变换将矩阵 A 化成形状 “简单”的 的矩阵B ，以通过B 探讨或解决与 A 有关的问题 或某些性质是讨论矩阵问题的常用方法. — 定义与性质 定义5 分别称以下3 类变换为矩阵的第1、2 、3 类行( row ) 或列( column ) 初等变换： 1.对调矩阵中任意两行 （或列）的位置.用rij （或cij ）表示对调一个矩阵的第 i 行 (列)与第j 行 （列）的第1 类行(列)初等变换. 记为 r « r (c « c ) i j i j 2. 以一非零常数乘矩阵某一行 （或列）. 用r (α) (或c (α) ) 表示以α≠ 0 乘矩阵第 i i i 行(列) 的第2类行(列) 初等变换. 记为 r →αr (c →αc ) i i i i 3. 将矩阵某行 （或列）的数量倍数加到另一行 （或列）去. 用rij (k) (或cij (k) )表示以 k 乘矩阵第 i 行(列) 后加到第 i 行(列)的第3 类行 （列）初等变换 记为r →r + kr ( c →c + kc ) j j i j j i 行初等变换与列初等变换统称为初等变换 定义6 对单位阵施以一次行(列)初等变换后所得 到的矩阵称为相应的行 (列) 初等矩阵，分别记第 1、2 、3 类行列初等矩阵为 R , R (α) , R ( k ) 或 ij i ij C , C (α) , C ( k ) , ij i ij 有  1          1   0  1  第i 行    1  R = C = 