统考版2024版高考数学一轮复习：三角函数与解三角形的综合运用理.docVIP

专练24　高考大题专练(二)　三角函数与解三角形的综合运用 1．[2023·全国乙卷(理)]在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin ∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 2．[2023·新课标Ⅰ卷]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 3．[2022·新高考Ⅰ卷，18]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 eq \f(cos A,1＋sin A)＝ eq \f(sin 2B,1＋cos 2B). (1)若C＝ eq \f(2π,3)，求B； (2)求 eq \f(a2＋b2,c2)的最小值． 4．[2023·新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为 eq \r(3)，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝ eq \f(π,3)，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 5．[2023·江西省南昌市模拟]如图，锐角△OAB中，OA＝OB，延长BA到C，使得AC＝3，∠AOC＝ eq \f(π,4)，sin ∠OAC＝ eq \f(2\r(2),3). (1)求OC； (2)求sin ∠BOC. 6．[2023·江西省重点中学盟校联考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，从条件①：b sin eq \f(B＋C,2)＝a sin B，条件②：b＝a cos C＋ eq \f(1,2)c，条件③：b tan A＝(2c－b)tan B这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A； (2)若 eq \o(AB,\s\up6(→))· eq \o(AC,\s\up6(→))＝3，求a的最小值． 专练24　高考大题专练(二)　三角函数与解三角形的综合运用 1．解析：(1)如图，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝22＋12＋2×2×1× eq \f(1,2)＝7，得BC＝ eq \r(7). 方法一　由正弦定理 eq \f(AC,sin ∠ABC)＝ eq \f(BC,sin ∠BAC)， 得sin ∠ABC＝ eq \f(1×\f(\r(3),2),\r(7))＝ eq \f(\r(21),14). 方法二　由余弦定理得cos ∠ABC＝ eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝ eq \f(4＋7－1,2×2×\r(7))＝ eq \f(5\r(7),14)， 所以sin ∠ABC＝ eq \r(1－cos2∠ABC)＝ eq \f(\r(21),14). (2)方法一　由sin∠ABC＝ eq \f(\r(21),14)，得tan ∠ABC＝ eq \f(\r(3),5)， 又tan ∠ABC＝ eq \f(DA,AB)＝ eq \f(DA,2)，所以DA＝ eq \f(2\r(3),5)， 故△ADC的面积为 eq \f(1,2)DA·AC·sin (120°－90°)＝ eq \f(1,2)× eq \f(2\r(3),5)×1× eq \f(1,2)＝ eq \f(\r(3),10). 方法二　△ABC的面积为 eq \f(1,2)AC·AB·sin ∠BAC＝ eq \f(1,2)×1×2× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(\r(3),2)， eq \f(S△ADC,S△BAD)＝ eq \f(\f(1,2)AC·AD·sin ∠CAD,\f(1,2)AB·AD·sin ∠BAD)＝ eq \f(sin 30°,2×sin 90°)＝ eq \f(1,4)， 故△ADC的面积为 eq \f(1,5)S△ABC＝ eq \f(1,5)× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(\r(3),10). 2．解析：方法一　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝ eq \f(π,4). 因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin (A－ eq \f(π,4))＝sin ( eq \f(3π,4)－A)， 展开并整理得 eq \r(2)(sin A－cos A)＝ eq \f(\r(2),2)(cos A＋sin A)， 得sin A＝3cos A， 又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0， 所以sin A＝ eq \f(3\r(10),10). (2)由正弦定理 eq \f(BC,sin A)＝ eq \f(AB,sin C)， 得BC＝ eq \f(AB,sin C)×sin A＝ eq \f(5,\f(\r(2),2))× eq \f(3\r(10),