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高二数学竞赛班二试讲义
第一讲 琴生不等式、幂平均不等式
一、知识要点:
1.琴生丌等式
凸函数的定义:设连续函数 f ( x) 的定义域为 a, b ,对于区间 a, b 内任意两点 x , x ,都谢谢阅读
1 2
x x f (x ) f (x )
有 f ( 1 2 ) 1 2 ,则称f ( x) 为 a, b 上的下凸(凸)函数;
2 2
x x f (x ) f (x )
反乊,若有 f ( 1 2 ) 1 2 ,则称f ( x) 为 a, b 上的上凸(凹)函数。
2 2
琴生(Jensen)丌等式(1905 年提出):若 f ( x) 为 a, b 上的下凸(凸)函数,则
x x x f (x ) f (x ) f (x )
f ( 1 2 n ) 1 2 n
n n
(想象n 边形的重心在图象的上方,n 个点重合时 “n 边形”的重心在图象上)感谢阅读
琴生(Jensen)不等式证明:
1) n 2 时,由下凸(凸)函数性质知结论成立;感谢阅读
x x x f (x ) f (x ) f (x )
2)假设 n k 时命题成立,即 f ( 1 2 k ) 1 2 k
k k
x x x
那么当 n k 1 时,设 A 1 2 k 1 ,
k 1 k 1
x x x x (k 1)A
2
(k 1)A (k 1)A 1 k k k 1 k k 1
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