-琴生不等式,幂平均不等式.pdf

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,. 高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式 一、知识要点: 1.琴生丌等式     凸函数的定义:设连续函数 f ( x) 的定义域为 a, b ,对于区间 a, b 内任意两点 x , x ,都谢谢阅读 1 2 x  x f (x )  f (x )   有 f ( 1 2 )  1 2 ,则称f ( x) 为 a, b 上的下凸(凸)函数; 2 2 x  x f (x )  f (x )   反乊,若有 f ( 1 2 )  1 2 ,则称f ( x) 为 a, b 上的上凸(凹)函数。 2 2   琴生(Jensen)丌等式(1905 年提出):若 f ( x) 为 a, b 上的下凸(凸)函数,则 x  x  x f (x )  f (x )  f (x ) f ( 1 2 n )  1 2 n n n (想象n 边形的重心在图象的上方,n 个点重合时 “n 边形”的重心在图象上)感谢阅读 琴生(Jensen)不等式证明: 1) n 2 时,由下凸(凸)函数性质知结论成立;感谢阅读 x  x  x f (x )  f (x )  f (x ) 2)假设 n k 时命题成立,即 f ( 1 2 k )  1 2 k k k x  x  x 那么当 n k 1 时,设 A 1 2 k 1 , k 1 k 1 x  x  x x  (k 1)A 2 (k 1)A  (k 1)A 1 k k  k 1 k k 1

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