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二、第二类换元法第二节一、第一类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四章 不定积分求解方法-换元法 第二类换元法第一类换元法基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设可导,则有不定积分求解方法-换元法 一、第一类换元法 （P221）定理1.则有换元公式(也称配元法即, 凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 例1. 求解: 令则故原式 =注: 当时机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 例2. （P222）求解:令则想到公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 例3. （P223） 求想到解:(直接配元)机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 例4. （P225）求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似不定积分求解方法-换元法 例5. （P223）求解:∴ 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 常用的几种配元形式: 万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 例6. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 例7. 求解: 原式 =例8. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 例9. 求解法1解法2 两法结果一样机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 例10.（P227） 求解法1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 解法 2 同样可证或(P226-P227 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 例11. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 例12 . 求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 例13. 求解:∴原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 例14. 求解: 原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: 不定积分求解方法-换元法 例15. 求解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如不定积分求解方法-换元法 思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同?机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 2. 求提示:法1法2法3作业 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 二、第二类换元法 （P228）机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法 .难求，不定积分求解方法-换元法 定理2 . 设是单调可导函数 , 且具有原函数 ,证:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式 （P228）不定积分求解方法-换元法 例16. （P230）求解: 令则∴ 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 例17. 求解: 令则∴ 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 例18.（P230） 求解:令则∴ 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 令于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 说明:被积函数含有时, 除采用采用双曲代换消去根式 ,所得结果一致 . 或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换外, 还可利用公式不定积分求解方法-换元法 原式例19. 求解: 令则原式当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分求解方法-换元法 小结:1. 第二类换元法常见类型: 令令令或令或令或机动 目录