中考专题复习正方形2.doc

中考专题复习之正方形 知识考点： 理解正方形的性质和判断，并能利用它进行相关的证明和计算。 精典例题： 【例1】如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EF∥AC，在DA的延长线上取一点G，使AG＝AD，EG与DF订交于点H。求证：AH＝AD。 分析：因为A是DG的中点，故在△DGH中，若AH＝AD，当且仅当△DGH为直角三角形，所以只须证明△DGH为直角三角形（证明略）。 评注：正方形除了具备平行四边形的一般性质外，还特别注意其直角的条件。本例中直角三角形的中线性质使此题证明简单。 GADAD E Q H B F C E BP C 例1图 例2图 【例2】如图，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上的点，若∠PAQ＝450，求证：PB＋DQ＝PQ。 分析：利用正方形的性质，经过结构全等三角形来证明。 变式：若条件改为PQ＝PB＋DQ，那么∠PAQ＝？你还能够获取哪些结论？ 研究与创新： 【问题一】如图，已知正方形 ABCD的对角线 AC、BD订交于点O，E是AC上一点，过A作AG⊥EB于G， AG交BD于点F，则OE＝OF，对上述命题，若点 E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延 长线交DB的延长线于点F，其余条件不变，则结论“ OE＝OF”还建立吗？若是建立，请给出证明；若是不建立，说 明原因。 A D A D O O G C F E B G E B C F 问题一图1 问题一图2 分析：关于图 1经过全等三角形证明OE＝OF，这种证法可否能应用到图 2的情境中去，进而作出正确的判断。 结论：（2）的结论“OE＝OF”依旧建立。 提示：只须证明△AOF≌△BOE即可。 评注：此题以正方形为背景，打破了纯真的计算与证明，重视察看了学生察看、分析、判断等多种能力。 【问题二】操作，将一把三角尺放在边长为 1的正方形ABCD上，并使它的直角极点 P在对角线AC上滑行，直 角的一边向来经过点 B，另一边与射线DC订交于点Q。 研究：设A、P两点间的距离为 x。 1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你察看获取的结论； 2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）当点P在线段AC上滑行时，△PCQ可否可能成为等腰三角形，若是可能，指出所有能使△PCQ成为等腰 三角形的点Q的地址，并求出相应的x值；若是不可以能，请说明原因（题目中的图形形状大小都相同，供操作用）。 ADADAD B  C  B  C  B  C 分析：（1）实验猜想：PQ＝PB，再利用正方形性质证明；（2）将四边形面积转变为三角形面积求；（ 0 略解：（1）如图1，易证BP＝PD，∠1＝∠2，∠PQD＝180－∠PQC＝∠PBC＝∠PDQ  3）可能。 PB＝PD＝PQ A D A D A D P 2 xP P Q Q M N 1 B C B C B C Q 问题二图1 问题二图2 问题二图3 （2）如图2，易证△BOP≌△PEQ ∴QE＝PO＝AO－AP＝ 2 x 2 ∴S四边形PBCQSPBC SPCQ 1PC(BOQE) 1PC(PEEC) 1PC2 1(2 2 2 x)2 2 2 ∴y 1x2 2x1（0≤x＜ 2） 2 2 （3）△PCQ可能成为等腰三角形。 ①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此时 x＝0； ②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图 3）。此时，QN＝PM＝ 2x， 2 CN＝ 2 CP＝1 2x，所以CQ＝QN－CN＝ 2x1，当2x 2x1时，解得 。 2 2 x1 评注：此题是一道奇特奇异的好题，它察看学生实践操作能力和研究问题的能力。 追踪训练： 一、填空题： 1、给出下面三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形 是正方形。其中真命题是（填序号）。 2、如图，将正方形  ABCD  的BC  边延长到  E，使  CE＝AC，AE  与  CD  边订交于  F点，那么  CE∶FC＝  。 D BCE F A A C C A D B B 第2题图 第3题图 3、如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向搬动到正方形 ABCD的地址，它们的重叠部分的面积是正方形 ABCD 面积的一半，若 AC＝ 2，则正方形搬动的距离 AA是 。 4、四边形ABCD的对角线AC、BD订交于点O，给出以下题设条件：① AB＝BC＝CD＝DA；②AO＝BO＝CO＝DO； ③AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD；④AB＝BC，CD＝DA。其中能判断它是正方形的题设条件