中考数学压轴题破解策略专题19《中点模型》.doc

专题19《中点模型》 破解策略 1．倍长中线 在△ABC中．M为BC边的中点． AA D BMCBMC EE 图1图2 1）如图1，连结AM并延长至点F，使得ME＝AM．连结CE．则△ABM≌△ECM． 2）如图2，点D在AB边上，连结DM并延长至点E．使得MF＝DM．连结CE，则△BDM≌△CEM， 遇到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等 将题中条件集中，达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法． 2．构造中位线 在△ABC中．D为AB边的中点， AA DED B C B C F 图1 图2 1）如图1，取AC边的中点E，连结DE．则DE∥BC，且DF＝1BC．2 2）如图2．延长BC至点F．使得CF＝BC．连结CD，AF．则DC∥AF，且DC＝1AE． 2 三角形的中位线从地址关系和数量关系两方面将将图形中分其他线段关系集中起来．平时需要再找一其中点来构造中位线，也许倍长某线段构造中位线， 3．等腰三角形“三线合一” 如图，在△ABC中，若AB＝AC．平时取底边BC的中点D．则AD⊥BC，且AD均分∠ BAC． 事实上，在△ABC中：①AB＝AC；②AD均分∠BAC；③BD＝CD，④AD⊥BC． 对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”． A BDC 直角三角形斜边中线 如图，在△ABC看，∠ABC＝900，取AC的中点D，连结BD，则有BD＝AD＝CD＝1AC． 2 反过来，在△ABC中，点D在AC边上，若BD＝AD＝CD＝1AC，则有∠ABC＝9002 例题讲解 例1如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连结AG、BG、CG且∠AGD＝∠BGC，若AD、BC所在直线 互相垂直，求  AD  的值 EF 解由题意可得△AGB和△DGC为共极点等顶角的两个等腰三角形， 所以△AGD≌△BGC，△AGD∽△EGF． 方法一：如图1，连结CE并延长到H，使EH＝EC，连EH、AH，则 AH∥BC，AH＝BC，而AD＝BC，AD⊥BC 所以AD＝AH，AD⊥AH，连结DH，则△ADH为等腰直角三角形，又因为  E、F分别为  CH、 AD AD CD的中点，所以 EF =1 2 DH 2 方法二：如图2，连结BD并取中点H，连结EH，FH．则EH＝1 AD，且EH∥AD，FH＝1 BC， 2 2 而AD＝BC，AD⊥BC，所以△EHF为等腰直角三角形，所以 AD = 2EH EF 2 EF 例2如图，在△ABC中，BC＝22，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于E，F、G分别是BC、DE的 中点，若ED＝10，求FG的长． 解：连结EF、DF，由题意可得 EF、DF分别为RT△BEC，RT△BDC斜边的中线，所以 DF＝EF 1 为DE的中点，所以 DG＝EG＝5，FG⊥DE，所以RT△FGD 中，FG＝ BC＝11，而G 2 ＝ DF2 DG2＝46 例3已知：在RT△ACB和RT△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝900，若P是BF的中点，连结PC、 PE （1）如图1，若点E、F分别落在边AB、AC上，请直接写出此时PC与PE的数量关系．（2）如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，上述结论可否成立若成立，请恩赐证明；若不成立，请说明原由． 3）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论可否依旧成立若成立，请恩赐证明；若不成立，请说明原由． 解（1）易得PC＝PE＝1BF，即PC与PE相等． 2 （2）结论成立．原由以下： 如图4，延长CP交EF的延长线于点D，则BC∥FD，易证△BPC≌△FPD，所以PC＝PD，而 ∠CED＝900，所以PE＝1CD＝PC 2 （3）结论仍成立，原由以下： 如图5，过点F作FD∥BC，交CP的延长线于点D，易得PD＝PC，FD＝BC所以AEEFEF ACBCFD 而∠AFE＝∠PBC＝∠PFD，所以∠EAC＝1800－2∠AFE＝∠EFD， 如图，连结CE，ED，则△EAC∽△EFD，所以∠AEC＝∠FED，∠CED＝∠AEF＝900，所以PE＝1CD＝PC 2 例4已知：△ABC是等腰三角形，∠BAC＝900，DE⊥CE，DE＝CE＝1 AC，连结AE，M是 2 AE的中点 （1）如图1，若D在△ABC的内部，连结 BD，N是BD的中点，连结MN，NE，求证：MN ⊥AE （2）如图2，将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝300，连结BD，N是BD的 中点，连结MN，求MN AC 解：（1）如图3，延长EN至点F，使得NF＝NE，连结FB，易证△DEN≌△BFN，从而可得BF∥DE，BF