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数值分析第一章误差1第一页，共四十二页，2022年，8月28日 教材丁丽娟, 程杞元,《数值计算方法》, 高等教育出版社, 2011年.2第二页，共四十二页，2022年，8月28日 第一章 数值计算中的误差§1.2 误差的基本概念 §1.3 数值计算中误差的传播§1.4 数值计算中应注意的问题?§1.1 数值计算的内容与特点 3第三页，共四十二页，2022年，8月28日 数值分析是做什么用的？数值分析输入复杂问题或运算? ?? ?计算机近似解§1.1 数值计算的内容与特点 4第四页，共四十二页，2022年，8月28日 ? 研究对象 那些在理论上有解而又无法手工计算的数学问题? 例 解300阶的线性方程组 求6阶矩阵的全部特征值5第五页，共四十二页，2022年，8月28日 主要内容 ? 数值代数近似求解线性方程组 (直接解法, 迭代解法)矩阵特征值的计算? 数值逼近：插值法, 函数逼近? 数值微分与数值积分? 微分方程近似求解: 常微分方程数值解法 ? 非线性方程求解 6第六页，共四十二页，2022年，8月28日 §1.2 误差的基本概念? 误差按来源可分为：? 模型误差? 观测误差? 截断误差? 舍入误差 误差：精确解与近似解之间的差7第七页，共四十二页，2022年，8月28日 ? 模型误差 数学模型通常是由实际问题抽象得到的, 一般带有误差, 这种误差称为模型误差.? 观测误差 数学模型中包含的一些参数通常是通过观测和实验得到的, 难免带有误差, 这种误差称为观测误差. ? 截断误差 求解数学模型所用的数值方法通常是一种近似方法, 这种因方法产生的误差称为截断误差或方法误差.8第八页，共四十二页，2022年，8月28日 实际计算时只能截取有限项代数和计算, 如取前5项有:这里产生误差 (记作R5 )截断误差例如, 利用 ln(x+1) 的Taylor公式计算 ln2,9第九页，共四十二页，2022年，8月28日 ? 舍入误差 由于计算机只能对有限位数进行原则保留有限位, 这时产生的误差称为舍入误差。等都要按舍入运算, 在运算中像在数值分析中, 均假定数学模型是准确的, 因而不考虑模型误差和观测误差, 只讨论截断误差和舍入误差对计算结果的影响.10第十页，共四十二页，2022年，8月28日 ? 设x* 是准确值x 的一个近似值, 记e=x?x*称 e为近似值 x* 的绝对误差, 简称误差.绝对误差一般很难准确计算, 但可以估计上界.? 绝对误差e 0 不唯一, 当然 e 越小越具有参考价值.则称 ?为近似值 x* 的绝对误差限, 简称误差限.? 若? 满足 1.2.1 绝对误差和相对误差11第十一页，共四十二页，2022年，8月28日 例 用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值? 精确值x , 近似值 x* 和误差限 ? 之间满足：通常记为 12第十二页，共四十二页，2022年，8月28日 ? 绝对误差有时并不能完全地反映近似值的好坏, 如测量 100 m 和 10 m 两个长度, 若它们的绝对误差都是 1 cm, 显然前者的测量结果比后者的准确. ? 因此, 决定一个量的近似值的精确度, 除了要看绝对误差外, 还必须考虑该量本身的大小.13第十三页，共四十二页，2022年，8月28日 称 er 为近似值 x* 的相对误差.? 记由于 x 未知, 实际使用时总是将 x* 的相对误差取为? 相对误差 称为近似值x*的相对误差限. ?14第十四页，共四十二页，2022年，8月28日 例 设 x*=1.24是由精确值 x 经过四舍五入得到的近似值, 求x*的绝对误差限和相对误差限.由已知可得:所以 ? =0.005,解? 一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值, 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.15第十五页，共四十二页，2022年，8月28日 有 位有效数字，精确到小数点后第 位? 若近似值 x*满足 则称 x*准确到小数点后第n位. 并把从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为有效数字.例：问： 有几位有效数字？解：431.2.2 有效数字16第十六页，共四十二页，2022年，8月28日 数x*总可以写成如下形式x* 作为x的近似值, 具有n位有效数字当且仅当其中m是整数, ai是0到9中的一个数字,由此可见, 近似值的有效数字越多, 其绝对误差越小.?