1全国高中数学联赛试题及解答.docx

PAGE PAGE 1 / 7 二○○一年全国高中数学联合竞赛题 题号一二13三1415合计加试总成绩得分评卷人复核人（10 题号 一 二 13 三 14 15 合计 加试 总成绩 得分 评卷人复核人 学生注意：1、本试卷共有三大题（15 个小题），全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、 选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 本题共有 6 个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6 分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分。 1、已知 a 为给定的实数，那么集合 M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 （A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定 2、命题 1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题 2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题 3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正确的有 （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个 ? 3、在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以?为周期、在（0， ）上单调递增的偶函数是 2 （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k 的⊿ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是 3（A）k=8 （B）0k≤12（C）≥12 （D）0k≤2 或 k=8 3 5、若(1+x+x2)1000 的展开式为 a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000,则 a0+a3+a6+a9+…+a1998 的值为 （A）3333 （B）3666 （C）3999 （D）32001 6、已知 6 技玫瑰与 3 枝康乃馨和价格之和大于 24 元，而 4 技玫瑰与 5 枝康乃馨和价格之和小于 22 元， 则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是 （A）2 枝玫瑰价格高 （B）3 枝康乃馨价格高（C）价格相同 （D）不确定填空题（本题满分 24 分，每小题 9 分） 本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。 7、椭圆? ? 1 的短轴长等于。 2 ? cos? 8、若复数z ,z 3 满足|z |=2,|z |=3,3z -2z =  -I,则 z z =。 1 2 1 2 1 2 2 1 2 9、正方体ABCD—A B C D 的棱长为 1 ，则直线A C 与 BD 的距离是。 1log x121 1 1 1 log x 1 2 10、不等式 ? 2 ? 3 的解集为。 2 x 2 ? 3 x 2 ? 3x ? 2 的值域为。 12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物， 相邻的两块种不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择，则有种栽种方案。 二、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 13、设{a }为等差数列，{b }为等比数列，且b ? a 2 ，b ? a 2 ，b ? a 2 （a a ）, AFB A F B E C D 又 3 3 1 2 lim (b ? b ? ? b ) ? ? 1 ，试求{a }的首项与公差。 2n??? 1 2 n n 2 x 2 14、设曲线C : 1 a 2 y 2 ? 1(a 为正常数)与C :y2=2(x+m)在 x 轴上方公有一个公共点P。 2 求实数m 的取值范围（用a 表示）； 1 O 为原点，若 C 1 与x 轴的负半轴交于点A，当 0a 时，试求⊿OAP 的面积的最大值（用 a 表示）。 2 15、用电阻值分别为a 、a 、a 、a 、a 、a 、（a a a a a a ）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。 二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试卷 （10 月 4 日上午 10：00—12：00） 学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。一、（本题满分 50 分） 如图：⊿ABC 中，O 为外心，三条高AD、BE、CF 交于点H，直线ED 和AB 交于点 M，FD 和 AC 交于点N。求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。 二、（本题满分 50 分） 设 x ≥0(I=1,2,3,…,n)且?n i  x 2 ?