高中数学抛物线练习题.docxVIP

高中数学抛物线练习题 高中数学《抛物线》练习题 一、选择题： 1. 函数y=ax^2+1的图象与直线y=x相切，则a=（B）。 2. 过抛物线y=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（A）有且仅有一条。 3. 抛物线x^2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（C）4。 4. 已知双曲线的中心在原点，离心率为3。若它的一条准线与抛物线y=4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y=4x的交点到原点的距离是（D）21。 5. 抛物线y=4x^2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（A）1。 6. 双曲线x^2y^2-1(mn≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y^2=4x的焦点重合，则mn的值为（D）8/3。 二、填空题： 7. 顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是y^2=24x。 8. 若抛物线y=1/2x^2-2x+m的焦点在x轴上，则m的值是-1。 9. 过（-1,2）作直线与抛物线y=4x只有一个公共点，则该直线的斜率为-2/3。 10. 抛物线y=2x为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是y=2x^2-2。 三、解答题： 11. 如图，M是抛物线上y^2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB。 （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值； （2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹。 解答： （1）由题意可知，A、B两点在x轴上，故A、B的横坐标分别为-x和x。设M的坐标为（t,t^2），则E、F的坐标分别为（-t,0）和（t,0）。直线EF的斜率为 k=（0-（t^2-0））/（-t-t）=t/（t+1）。 因此，直线EF的斜率为定值t/（t+1）。 （2）设抛物线的焦点为F，顶点为O。则O为坐标原点。由题意可知，ME、MF分别为抛物线的两条准线。由于∠EMF=90°，故ME、MF互相垂直。设H为EF的中点，则H的坐标为（0，t^2/2）。由于EF的斜率为t/（t+1），故EF的方程为y=t^2/（t+1）x。设G为△EMF的重心，则G的坐标为（0，（t^2+1）/3）。因此，G的轨迹为y=（x^2+1）/3。 12. 已知抛物线y^2=2px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M。 （1）求抛物线方程； （2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标； （3）以M为圆心，MB为半径作圆M。当K（m,0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系。当m1时，AK与圆M相交。 解答： （1）由题意可知，抛物线的焦点为F（0,p），直线x=4与抛物线的交点为A（4，y），A到抛物线准线的距离为5，故抛物线的准线为y=-p。设B的坐标为（x，0），则OB的中点M的坐标为（（x+4）/2，0）。由于B在抛物线上，故y^2=2px。又因为B在直线AB上，故x=4+y。因此，代入y^2=2px中，得到（4+y）^2=8py。化简后可得抛物线的方程为y^2=8x。 （2）由题意可知，MN⊥FA，故MN的斜率为-p/2。设N的坐标为（x，y），则MN的方程为y-p=y^2/4px（由抛物线的性质得到）。又因为MN⊥FA，故MN的斜率为2p/y。因此，有y-p=y^2/8x。联立两式可得x=2p/y，代入y^2=8x中，可得y=2√2p。因此，点N的坐标为（2p/（2√2p），2√2p）=（√2p，2√2p）。 （3）以M为圆心，MB为半径作圆M。设K（m，0）为x轴上的动点，则AK的斜率为（0-2√2p）/（m-4），故AK的方程为y-2√2p=（2√2p/m-4）（x-4）。设AK与圆M的交点为P，则P到M的距离为MB。因此，有（x-Mx）^2+y^2=MB^2。代入AK的方程中，可得（x-Mx）^2+（（2√2p/m-4）（x-4）-2√2p）^2=（MB）^2。化简后可得（m-2√2p）^2+16（x-2√2p）^2=16MB^2。因此，当m1时，方程的解集为一个圆，且圆心为（2√2p，m），半径为2MB。当m=1时，方程的解集为一条直线。当m1时，方程无解。