西安交大数学物理方程课件完整版.pdfVIP

引言 1.什么是数学物理方程？ 《数学物理方程》是一门应用广泛的基础课程.数学物理方程一般 是指自然科学或工程技术中的某些物理问题导出的微分方程、偏微分 方程和积分方程, 《数学物理方程》就是研究这类方程性质及其求解算 法的一门学科. 本课程主要包括偏微分方程的建立和求解方法. 偏微分方程：联系自变量、未知函数以及未知函数偏导数的关 系式。例如 2 2 2 u u  u  u  u F  x 1 , x 2 u , , , 2 , 2 , ) 0 x x x x x x 1 2 1 2 1 2 其中 x , x 是自变量，u u(x ,x )是未知二元函数. 1 2 1 2 数学物理方程可追溯到17世纪. 当时，工业生产快速发展，促进了 力学、天文学和物理学的相应发展.相关问题的研究促使了微积分的产 生，由此便有了偏微分方程、微积方程. 此后，以下几项重要的研究促进了数学物理方程的发展. 18世纪初 （1715年），Taylor在研究弦线振动规律时，提出了一 个非常著名的偏微分方程： 2 2  u 2  u a ——弦振动方程 t 2 x 2 其中u(x,t)表示弦上x 处，在时刻t 的位移. Laplace 对势函数的研究导出了拉普拉斯方程，Fourier对热传导 方程进行了系统的研究. 这些方程是三类典型的偏微分方程，基本形 式如下： 2 u 2  u a 2 热传导方程 t x 2 2 2  u   u   u 0 Laplace方程 x 2 y 2 z 2 2 2  u a 2  u 弦振动方程 t 2 x 2 Bernoulli(贝努利）把弦振动方程的解表示为级数形式：   n  a n  a  n  u x , t  A cos t  B sin t sin x   n n  n 1  l l  l Fourier用类似方法，较系统地研究了上述方程求解方法，形成 了现在求解这类方程的基本方法，我们称为Fourier方法. 本课程基本内容就是： (1)、三类方程 （或模型）的建立； (2)、三类方程的求解方法,主要是Fourier方法. 1.1 数学模型的建立 1.1.1 弦振动方程和定解条件 研究表明：声波、电磁波的传播问题都可以用相同类型的偏微 分方程