福建师范大学2023年8月课程考试《常微分方程》作业考核试题.doc

▆ ▆ ■　■　■　■　■　■　■　■　■　■　■　■ ▆ 《常微分方程》 试卷 共2页（第 PAGE 2 页） 答案务必写在对应的作答区域内，否则不得分，超出黑色边框区域的答案无效！ ▆ ▆ 《常微分方程》 试卷 共2页（第 PAGE 1 页） 答案务必写在对应的作答区域内，否则不得分，超出黑色边框区域的答案无效！ ▆ 《常微分方程》期末考试A卷 姓名： 专业： 学号： 学习中心：（附答案） ? 填空题（每个空格4分，共40分） 是 2 阶微分方程，是 线性 方程（填“线性”或“非线性” ）。 给定微分方程，它的通解是 ，通过点（2，3）的特解是 。 微分方程为恰当微分方程的充要条件是 。 4、方程的通解为 ，满足初始条件的特解为 。 5、微分方程的通解为 。 6、微分方程的通解为 ， 该方程可化为一阶线性微分方程组 。 二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。 1、； 解： 2、； 解：由原式变形得： . 两边同时积分得：. 即上式为原方程的解。 3、； 解：这里特征根方程为：，有两个特征根 ，因此它对应的齐次方程的通解为： . 考虑原方程，它的一个特解为： . 根据解的结构基本定理，原方程的通解为： . 4、 . 解：方程组的特征方程为 即，即 特征根为， 对应特征向量应满足，可得 同样可算出时，对应特征向量为 ∴ 原方程组的通解为 三、（8分）考虑方程假设及在xOy平面上连续，试证明：对于任意及，方程满足的解都在上存在。 解： 证明：根据题设，可以证明方程右端函数在整个xOy平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，为方程在(-∞,+∞)上的解.由延展定理可知足，任意，的解上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，又不能穿过直线 ，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-∞,+∞)上存在。 四、（10分）设，求解方程组满足初始条件的解。 解：det（E－A）=＝(+1)2(－3)＝0. ∴＝－1（二重），＝3. 对应的特征向量为u1＝，u2＝. ∴＝＋. 解得. ＝. 五、（10分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。 证明：见书。 一阶微分方程 （1） 其中是在矩形域上的连续函数。 　　定义1 ?如果存在常数，使得不等式 ?对于所有 ?都成立，则函数称为在上关于满足Lipschitz条件。 定理1 如果在上连续且关于满足Lipschitz条件， 则方程(1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件， 这里，。