§2.2-6 微分方程式的建立与求解.ppt

归纳出以下表达式： 同时给出以下重要结论： 也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。 形式取决于外加激励。对应于特解。 当t→∞趋于无穷大时，响应趋于零的分量。 当t→∞，保留下来的分量称为稳态分量。 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。 (1)自由响应： (2)暂态响应： 稳态响应： 强迫响应： (3)零输入响应： 零状态响应： 各种系统响应定义 系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值 决定的初始值求出待定系数。 系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值 为零决定的初始值求出待定系数。 求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。 求解 系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即 三．对系统线性的进一步认识 由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。 (1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。 (2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。 (3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。 判断系统是否线性注意问题 1．在判断可分解性时，应考察系统的完全响应y(t)是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关。 2．在判断系统的零输入响应yzi(t)是否具有线性时，应以系统的初始状态为自变量（如下述例题中y(0))，而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。 3．在判断系统的零状态响应yzs(t)是否具有线性时，应以系统的输入激励为自变量（如下述例题中f(t)），而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。 [例] 判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统？（其中y(0-)为系统的初始状态，f(t)为系统的输入激励，y(t)为系统的输出响应）。 线性系统 非线性系统 非线性系统 线性系统 §2.6 冲激响应和阶跃响应 冲激响应 阶跃响应 系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。 一．冲激响应 1．定义 2．一阶系统的冲激响应 3． n 阶系统的冲激响应 响应及其各阶导数(最高阶为n次) 3．n阶系统的冲激响应 (1)冲激响应的数学模型 对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示 激励及其各阶导数(最高阶为m次) 令 e(t)=?(t) 则 r(t)=h(t) (2)h(t)解答的形式 设特征根为简单根（无重根的单根） 由于 及其导数在 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。 ②与n, m相对大小有关 ①与特征根有关 冲激平衡法求系统的单位冲激响应 由于t0+后, 方程右端为零, 故nm时 n?m时, 为使方程两边平衡, h(t)应含有冲激及其高阶导数,即 将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡,确定系数Ki , Ai 冲激平衡法小结 1)由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式. 2) 由动态方程右边d(t)的最高阶导数与方程 左边h(t)的最高阶导数确定d (j)(t)项. 二．阶跃响应 系统的输入 ，其响应为 。系统方程的右端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有特解项。 我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。 1．定义 2．阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性 三．齐次解法求冲激响应（补充） 左端最高阶微分中含有?(t)项 (n-1)阶微分中含有u(t)项。 可以由此定初始条件 令方程左端系数为1，右端只有一项?(t)时，冲激响应为 此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。 求冲激响应的几种方法 方法1：冲激函数匹配法求出 跃变值，定系数A。 方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。 方法3: 齐次解法求冲激响应。 总结 冲激响应的求解至关重要。 冲激响应的定义 零状态； 单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。 冲激响应说明：在时域，