电磁场与电磁波上.ppt

2. 圆柱坐标系中的分离变量法 在求解圆柱空间或有柱面边界的场问题时，采用圆柱坐标较为方便。圆柱坐标中电位的拉普拉斯方程为 采用分离变量法，圆柱坐标系中拉普拉斯方程的一个解为 n阶第一类贝塞尔函数 n阶第二类贝塞尔函数或纽曼函数 式中的所有系数均由边界条件确定！ 第一类贝塞尔函数曲线 特殊情况1 如果我们研究的问题是圆柱沿方向无限长，则电位与z无关，此时拉普拉斯方程变为 应用分离变量法上述方程的解为 式中的所有系数由边界条件确定！ 特殊情况2 如果圆柱的电位是圆对称的且z方向无限长，即电位与z和?方向无关，此时拉普拉斯方程为 此时方程的解为 以上分析了几种条件下圆柱结构拉普拉斯方程解的可能形式，下面举例来说明其具体应用。 式中的系数同样由边界条件确定！ [例3-5] 半径为a、介电常数为?的无限长介质圆柱置于均匀电场E0中，圆柱轴线与E0垂直，求圆柱内、外的电位和电场分布。 分析：在均匀电场作用下，介质圆柱表面将出现极化电荷，因而空间任一点的电位是均匀场的电位和圆柱面上的极化电荷所产生的电位的叠加。根据坐标面一致的要求，选择圆柱坐标系如图所示。此时，均匀电场的电位和圆柱表面的极化电荷所产生的电位均与坐标z无关。 [例3-5](续) 设柱内、外的电位分别为?1和?2，其表达式分别为 其边界条件为 （1）在圆柱轴线? =0处， ?1应为有限值； （2）当? ??时， ?2应为-E0 ? cos? ； （3）在? =a的圆柱面上， ?1=?2和 [例3-5](续) 由条件(1)得C2=0、Fn=0，此时圆柱内电位表达为 圆柱外的电位表达式为 [例3-5](续) 由条件（3）得 上面两式任意角度都成立，比较sin?和cos?的系数得 联立两组方程解得 [例3-5](续) 再比较其它正弦和余弦项的系数得 综合上述各系数，可得到圆柱内、外的电位为 [例3-5](续) 分别对电位函数求负梯度，可得相应的电场强度 可见，介质圆柱内的电场比原外加电场要小，这是由于介质圆柱在外加电场作用下发生极化，极化后在右半圆柱面上产生正的极化电荷，在左半圆柱面上产生负的极化电荷，极化电荷在圆柱内产生的电场与外加电场E0反向，因而总电场减弱。 外加电场中的介质柱 3. 球坐标系中的分离变量法 在求解球空间或有球面边界的场问题时，采用球坐标较为方便。球坐标中电位的拉普拉斯方程为， 利用分离变量法求得方程的通解为 m阶l次第一类连带勒让德函数 球对称性问题的解 具有球对称性问题的拉普拉斯方程的通解为 勒让德多项式 [例3-7] 设有一半径为a的接地导体球，放置于均匀的外电场E0中，球外为真空，试求空间任一点处的电位和电场分布。 z r a O E0 分析：静电平衡状态下球面和球内电位处处相等，由于导体球接地，所以球面和球内电位均为零。由于电位对极轴对称，电位与坐标?无关，此时电位函数的通解应为： [例3-7](续) 所以 上式展开成如下形式 所以球外任意点的电位为 球外任意点的电场强度为 由上式可见：在导体球表面仅有电场的法向分量，导体表面感应电荷密度为3?0E0cos?，导体球外的电位（电场）是由均匀电场E0和感应电荷共同产生的。 事实上能用分离变量法进行求解的结构是十分有限的，对于复杂结构的电磁场问题，一般采用数值法求解。 [例3-7](续) 外加电场中的接地导体球 3.5 有限差分法 当所求问题的边界比较复杂，通常采用数值解法。目前，比较成熟的求解电磁场问题的数值解法很多，如主要有矩量法、有限差分法、有限元法、边界元法等等，采用计算机求数值解，理论上可以得到任意要求的精度。 本节要点 差分方程的建立 简单迭代法 超松弛法 1.差分方程的建立 1）一般来说，网格划分得愈细所能达到的精度愈高，但计算时间也愈长； 2）网格的划分有不同的方法，这里仅介绍正方形网格划分。 首先把求解区域划分成网格，把求解区域内连续的场分布用网格节点上的离散的数值解代替。 有限差分法是把微分方程在给定点附近用差分代数方程代替而计算电位的一种近似方法。 差分方程的建立（续） 设二维平面场中每个正方形格子的边长为h ?i-1, j和?i+1, j可以用在点(i,j)附近的泰勒级数展开为 线与线的交点为节点 设区域中某点(i,j)的 电位为?i,j，则其上下左右四 个点的电位分别为 差分方程的建立（续） 同理?i, j +1和?i, j -1在点(i,j)附近的泰勒级数展开为 在h足够小的情况下，忽略4阶以上的高次项,将以上四式相加得 泊松方程与拉普拉斯方程的差分形式 设所研究区域中电荷密度为?V，点(i,j)电位满足泊松方程 如果所研究的区域?V=0 ，则二维拉普拉斯方程的有限差分形式为