常微分方程试题及解答.doc

常微分期终考试试卷 (1) 一、 填空题( 30%) TOC \o "1-5" \h \z 1、方程 M (x, y)dx N( x, y)dy 0有只含 x 的积分因子的充要条件是 ( )。有只含 y 的积分因子的充要条件是 。 ２、 称为黎卡提方程， 它有积分因子 。 ３、 称为伯努利方程， 它有积分因子 。 ４、若 X1(t),X2(t), ,Xn(t)为 n阶齐线性方程的 n个解，则它们线性 无关的充要条件是 。 ５、形如 的方程称为欧拉方程。 ６、若 (t)和 (t)都是 x' A(t) x的基解矩阵，则 (t)和 (t )具有的关 系是 。 ７、当方程的特征根为两个共轭虚根是， 则当其实部为 时， 零解是稳定的，对应的奇点称为 。 二、解答题(６０％) 1、 ydx ( x y3)dy 0 ４、 (d ４、 (ddyx)3 dx 4xyddyx 8 y2 0 ２、 x x sin t cos2t ３、若 AexpAt21 14 试求方程组 x Ax 的解 (t), (0) 21 ３、若 A expAt ５、求方程dy x y2经过( 0，0)的第三次近似解 dx ５、求方程 6.求 ddxt x y 1,ddyt x y 5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性 . 三、证明题（１０％） 、 n 、 n 阶齐线性方程一定存在 n个线性无关解。 试卷答案填空题MNy x 试卷答案 填空题 MN y x (x) N MNyx M (y) ２、dy p(x y) 2 Q x(y )R x dx ２、 dy p(x y) 2 Q x(y )R x dx () ddyx p(x)y Q x( y)n u(x, y) ne (n 1)p(x)dx ４、 w[x1(t),x2(t), ,xn(t)] 0 dxndny dxn dny a1 an 1ddyx any 0 ６、 (t) (t)C ７、零 稳定中心 二计算题 MN 1, 1 １、解：因为 y x ，所以此方程不是恰当方程，方程有积 2dy 2分因子 (y) e y e ln y2 2 dy 2 分因子 (y) e y e ln y2 两边同乘 x y3 dy 0 所以解为 1ydx y y2 x y3 y2 x y2 x y c 即 2x y(y2 c) 另外 y=0 也是解 y2 ２、线性方程 x x 0的特征方程 2 1 0 故特征根 i f1(t) sint i 是特征单根， 原方程有特解 x t(Acost Bsint) 1 代入原方程 A=- 1 B=0 f2(t) cos2t 2i 不是特征 22 1 根，原方程有特解 x Acos2t B sin 2t 代入原方程 A 1 B=0 3 11 所以原方程的解为 x c1 cost c2 sint tcost cos2t ３、解：p( ) ３、解： p( ) 2 6 9 0 解 得 1,2 3 此 时 k=1n1 2 1(t) e3t 1 (t) e3t i0 tii!(A 3E)i 1 e3t 1 t( 1 2) 2 t( 1 2) n 1ti n 1ti 由公式 expAt= e t t (A E)i 得 i 0 i! 3t 3t 1 0 1 expAt e3t E t(A 3E) e3t t 0 1 1 11 e3t 1 tt t 1t ４、解：方程可化为 xdydx ４、解：方程可化为 x dy dx 4ydy dx 8y2 dy 令 dy p 则有 x dx 32 p3 8y2 (*) 4yp *)两边对 y求导： 2y(p3 4y2)dp p(8y2 p3) 4y2pdy 即(p3 4y2)(2ydp p) 0由2ydp p 0得 p cy21即y (p)2将 ydy dy c 代入（*）c 代入（*） c2 x 4 22p 即方程的 含参数形式的通解为： c2 x c2 2px2 4 c2 4cpp2y ( )2c 为参数又由 p34y 为参数 又由 p3 4y2 14 0得 p （4y2）3代入（ *）得： y 4 x3也是方程的解 ５、解：2xx1 y0 ５、解： 2 xx 1 y0 xdx 1 0 0 2 2 xx y0 (x )dx x2 0 0 4 2 4 10 x x x 04 3 y0 (x 5 x 20 7 2 5 x x x )dx 400 20 2 20 4400 160 x11 x8 x y 1 0 ６、解：由 解得奇点（ 3， -2）令 X=x-3,Y=y+2 则 xy50 xydx x y ddty dy dt xy 因为 1 1=1+1 0 故有唯一零解( 0，0) 11 1 1 2 2 由 2 2 1 1 2 2 2 0得 1 i 故