探究问题本真，突破教学壁垒-《数学教学通讯·高中版》(2017年5期).docx

龙源版权所有 探究问题本真，突破教学壁垒作者：章建斌来源：《数学教学通讯·高中版》2017年第05期 [摘 要] 高考试题一般都具有较高的研究价值和教学运用价值，如果我们能通过研究分析，挖掘出其背后的通性通法，结合教学需求合理地优化设计，再通过有计划地引导和启发，可以让学生举一反三，激发学生的学习兴趣，有助于学生“整合思维—发现问题—突破常规—实现创新”. 本文以一道高考题为例，介绍笔者的研究心得和教学设计之旅. [关键词] 数列与不等式；教学设计；叠加法；叠积法 高考压轴题具有结构严谨、形式多变、情境新颖、构思巧妙、方法灵活等特点，是高三复习的宝贵资源；然而压轴题让众多学生望而生畏，摸不着头脑. 如果在复习中直接使用这样的例题教学，无疑会打击学生的自信心，起到“反作用”的效果. 那么，如何在课堂教学中充分利用这些难度大的高考题？这就需要教师对同类问题进行深入地研究，在教学过程中搭建好“支架”，通过由浅入深地合作探究来揭示问题的真相，挖掘出复杂背景下解决问题的通性通法，逐步提升学生的数学思维和数学能力. 下面笔者以2015年浙江省高考理科数学压轴题为例，谈谈教学设计上的一些想法. 问题提出 1. 原题呈现 题目（2015年高考真题）：已知数列{an}满足a1=且an+1=an-a（n∈N*）. （1）证明：1≤≤2（n∈N*）； （2）设数列a的前项和为Sn，证明：≤≤（n∈N*）. 2. 高考“标准答案”展示 （1）由题意得an+1-an=-a≤0，即an+1≤an，an≤. 由an=（1-an-1）an-1得an=（1-an-1）·（1-an-2）…（1-a1）a1>0. 由0 （2）因为a=an-an+1， 所以Sn=a+a+…+a=（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-an+1）=a1-an+1①. 由-=和1≤≤2得1≤-≤2，所以n≤-≤2n. 因此≤an+1≤（n∈N*）②. 由①②得≤≤. 解法再思考，释疑解惑 1. 解读试题考查的知识与方法 本题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式的性质等知识，同时考查考生的推理论证能力及分析问题和解决问题的能力. 求解的方法主要有：利用前n项和与通项公式之间的关系求解、定义法、构造新数列法等；数列的求和方法主要有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等，解题时要针对不同的数列特征选择不同的求和方法. 2. 解题过程中的难点突破 根据本题中的递推关系，数列{an}认为是在给定首项a1=后，由递推公式an+1=f（a）反复迭代生成的，此时把数列{an}叫作迭代数列. 显然迭代数列是由an+1=f（an）与首项a1共同决定的. 以迭代为背景的题目，浙江考生遇到的不多，显得有些神秘. 要证明第（2）问，实际上是证明2（n+1）≤≤2（n+2），它的左右两边是等差数列的通项，因此问题的突破口是证明是类等差数列. 但-又不好计算，所以此思路不是本题的切入点. 第（2）问的切入点在于对所证式子的等价转化，将复杂的、难运算的式子转化为简单的、好运算的式子，到此第（2）问的思路就很明显了：Sn=a+a+…+a=（a1-a2）+…+（an-an+1）=a1-an+1，由于数列{an}的通项公式本身不可求，因此通过递推式an+1=an-a转化为a=an-an+1，进而利用叠加法得到Sn=a1-an+1，故而只需解決通项an即可. 由an+1=an-a得-=，因为0 设计再思考，优化重组 不可否认，此题作为高考压轴题有相当大的难度，很多学生陷入了无从下手的窘境. 但在错综复杂的题目中，肯定直接或间接地告诉了我们一些信息，而这些信息是常规的，是我们所熟知的.数列中最常规的无非是等差数列和等比数列及相关的一些基本方法，这些想法也可以从高考试题的标···试读结束