武汉大学计算方法历年期末考试试题.docVIP

武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷 《计算方法》 （A卷） （36学时用） 学院： 学号： 姓名： 得分： 一、（10分）已知的三个值 xi 0 1 2 yi 0.2 -1.8 1.8 求二次拉格朗日插值 L； （2）写出余项。 二、（10分）给定求积公式 求出其代数精度，并问是否是Gauss型公式。 三、（10分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的（范数用）。 四、（12分）已知方程在内有唯一根。 迭代格式A：；迭代格式B： 试分析这两个迭代格式的收敛性。 五、（12分）设方程组 ，其中， 分别写出Jacob及Gauss-Seidel迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。 六、（12分）已知的一组值 xi 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 f(xi) -1 -2 0 2 3 4 1 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 七、（12分）2009年5月左右，北美爆发甲型H1N1流感，美国疾病控制和预防中心发布的美国感染者人数见下表。为使计算简单，分别用x=-1，0，1，2代表2009年5月2，3，4，5日。 日期 5月2日 5月3日 5月4日 5月5日 -1 0 1 2 （人数） 160 226 279 403 根据上面数据，求一条形如的最小二乘拟合曲线。 八、（12分）用改进欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程： 。（取步长） 九、（10分）对于给定的常数，为进行开方运算，需要求方程的正根。（1）写出解此方程的牛顿迭代格式； （2）证明对任意初值, 牛顿迭代序列单调减且收敛于. 武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷 1、解：（1）二次拉格朗日插值为 （2）余项为 2、解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 于是，其代数精度为3，是高斯型求积公式。 3、解： 而，于是， 所以题干中结论成立。 4、解：（1）对于迭代格式A：， 其迭代函数为，在内 ， 所以发散。 （2）对于迭代格式B：， 其迭代函数为，在内 ， 所以收敛。 5、解：（1）Jocobi迭代法： 因为 （2）Gauss-Seidel迭代法： 因为 综上分析可知两种迭代法同时收敛同时发散。 6、解：（1）复化梯形公式（） （2）复化辛普森公式（） 7、解：依题意，可知 8、解： 9、解：（1）牛顿迭代格式 （2）因为时，，，所以取任意作为初始值，迭代序列必收敛到，故迭代公式是收敛的。 武汉大学2009--2010学年第二学期考试试卷 《计算方法》 （A卷） （36学时用） 学院： 学号： 姓名： 得分： 一、（10分）设，,求范数 、谱半径 、条件数 二、（10分）已知 的一组值： xi 0 1 2 yi -2 4 8 分别求二次拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式。 三、（10分）已知数据 xi -2-1 0 1 2 yi 01 210 求形如 的最小二乘拟合曲线。 四、（15分）已知的三个根分别位于区间，内。 （1）分别讨论迭代格式求这三个根时的收敛性。 （2）写出求内根的牛顿迭代格式，并说明如何选取初值，使牛顿迭代收敛于内的根。 五、（10分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程组， 其中 六、（15分）设方程组 分别写出雅可比迭代格式及高斯-赛德尔迭代格式； 问常数 取何值时，雅可比迭代格式收敛。 七、（10分）已知的一组值 xi 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 f(xi) -1 3 2 -2 2 4 5 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 八、（10分）用改进欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长）： （取5位有效数字计算） 九、（10分）在内插入分点，分点为， 设 为插值型求积公式。 （1）导出系数 的公式； （2）证明此求积公式的代数精度大于等于 , 且不超过 . 计算方法2010春A卷参考答案(2010 一、，, 二、 三、 ，， ， 四、（1）。在区间[0，1]上，，所以求[0, 1]内根时迭代收敛。在[3.5, 4]上，，迭代发散。而在[-1, 0] 上，对任意，迭代得到的均为正值,所以迭代发散。 （2）设，在[3.5，4]内，，取，直接取 五、 ，解得 ，解得 六、Jacobi， G-S迭代类似(略)。 Jacobi迭代阵为 ，特征值为， 谱半径 ，所以 七、复化梯形=2.2 ( h=0.2) 复化辛卜生=2.133 八、 九、系数（见教材P157）。 代