高中教学课件：4-2-2-1 等差数列的前n项和公式（课件）--2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版选择性必修第二册）.pptx

4.2.2.1 等差数列的前n项和公式 ??高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. ?情景引入 ??? ?? ??将上述方法推广到一般，可以得到：?? ????? ?? 倒序相加法 ?? （1） ?? 思考: 不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？? ?? ??? ? 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)只有在等差数列中S1等于a1.(　　)(2)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起,一直到第n项an所有项的和.(　　)(3)不存在这样的n的值,使公差为正数的等差数列前n项和Sn等于0.(　　)×√ × 2.(1)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=　　　　　.?(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.若S17=102,a11=12,则d=　　　,S20=　　　.?143210 ??所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. ??ABCD1133?2285?30157?4?249?5?3511?? ?? ? 探究点一等差数列前n项和公式及其应用【例1】(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9=　　　　.?(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=　　　　.?(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=　　　　.?分析利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.题型探究 答案 (1)81　(2)15　(3)-171解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.(2)设等差数列{an}的公差为d, 变式训练 1(1)设等差数列{an}的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5=(　　)A.15　　　　B.20　　　　C.25　　　　D.30(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=(　　)A.12 B.13 C.14 D.15(3)已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,则n=　　　　.? 答案 (1)C　(2)B　(3)10或11又a2=3,∴a4=7,∴公差d=2.∴a7=a4+3d=7+3×2=13. 探究点二利用等差数列前n项和公式判断【例2】 若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.解 当n=1时,S1=a1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,经检验,当n=1时,a1=-1满足上式,故an=4n-5.数列{an}是等差数列,证明如下:因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4,所以数列{an}是等差数列. 规律方法　由Sn求通项公式an的步骤(1)令n=1,则a1=S1,求得a1.(2)令n≥2,则an=Sn-Sn-1.(3)验证a1与an的关系:①若a1适合an,则an=Sn-Sn-1; 变式探究若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由. 解 ∵Sn=2n2-3n-1,①当n=1时,S1=a1=2-3-1=-2;当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)-1,②①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5,经检验,当n=1时,a1=4×1-5=-1≠-2,∵a2-a1=3,a3-a2=4,即a2-a1≠a3-a2,∴数列{an}不是等差数列,易知数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. 探究点三等差数列的求和在实际生活中的应用【例3】 (2021河南豫南九校高二期末)疫苗是解决病毒传染的关键,为了早日生产某种病毒疫苗,某研究所计划建设n个实验室,从第1到第n实验室的建设费用依次构成等差数列,已知第7实验室比第2实验室的建设费用高15万元,第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元,现在总共有建设费用438万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是(　　)A.10 B.11 C.12 D.13 答案 C 规律方法 应用等差数列解决实际问题的一般思路 倒序相加法知三求一的方程思想一个方法：两个公式：一个思想：课堂小结