自己抽象函数单调性及奇偶性练习及答案.doc

- . z. 1、的定义域为R，且对任意实数*，y满足，求 证：是偶函数。 2、f(*)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意*,y,f(*)都满足f(*y)=yf(*)+*f(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(*)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(*)对任意*?y∈R,总有f(*)+f(y)=f(*+y),且当*0时,0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(*)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(*)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、函数f(*)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0*1时f(*)0,且对任意*、y∈(－1,1)都有f(*)+f(y)=f(),试证明 (1)f(*)为奇函数；(2)f(*)在(－1，1)上单调递减 是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足:. (1)求的值; (2)判断的奇偶性,并证明你的结论; 定义在R上的函数y=f(*)，f(0)≠0，当*0时，f(*)1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， 求证：f(0)=1； 求证：对任意的*∈R，恒有f(*)0； 〔3〕证明：f(*)是R上的增函数； 〔4〕假设f(*)·f(2*-*2)1，求*的取值*围。 函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时,0. (1)求; (2) 判断函数的单调性,并证明. 函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有0;②对任意,有;③. (1)求的值; (2)求证:在R上是单调减函数; 函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. (1)证明:; (2)证明:在R上单调递减; 函数对于*0有意义，且满足条件减函数。 〔1〕证明：； 〔2〕假设成立，求*的取值*围。 定义在R上的函数y=f(*)，f(0)≠0，当*0时，f(*)1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， 求证：f(0)=1； 求证：对任意的*∈R，恒有f(*)0； 〔3〕证明：f(*)是R上的增函数； 〔4〕假设f(*)·f(2*-*2)1，求*的取值*围。 函数,在R上有定义，对任意的有 且 〔1〕求证：为奇函数 〔2〕假设， 求的值 函数对任意实数恒有且当*＞0， (1)判断的奇偶性； (2)求在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于的不等式 14、定义在R上的函数f〔*〕对任意实数a、b都有 f〔a+b〕+ f〔a－b〕=2 f〔a〕·f〔b〕成立，且。 〔1〕求f〔0〕的值； 〔2〕试判断f〔*〕的奇偶性； 15、定义在上的函数满足： 〔1〕值域为，且当时，； 〔2〕对于定义域内任意的实数，均满足： 试答复以下问题： 〔Ⅰ〕试求的值； 〔Ⅱ〕判断并证明函数的单调性； 16、定义域为R的函数f(*)满足：对于任意的实数*，y都有f(*+y)=f(*)+f(y)成立，且当*＞0时f(*)＜0恒成立. (1)判断函数f(*)的奇偶性，并证明你的结论； (2)证明f(*)为减函数；假设函数f(*)在[-3，3〕上总有f(*)≤6成立，试确定f(1)应满足的条件； 参考答案 1、分析：在中，令，得 令，得于是 故是偶函数 2、解析:(1)∵f(*)对任意*,y都有 f(*y)=yf(*)+*f(y), 令*=y=1,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1). ∴f(1)=0,令*=y=-1,有 f[(-1)×(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1), ∴f(-1)=0. (2)∵f(*)对任意*,y都有f(*y)=yf(*)+*f(y), 令y=-1,有f(-*)=-f(*)+*f(-1). 将f(-1)=0代入,得f(-*)=-f(*). ∴函数f(*)是(-∞,+∞)上的奇函数. 3、解析:(1)令*=y=0,f(0)=0, 令*=-y,可得f(-*)=-f(*), 设*1?*2∈(-∞,+∞)且*1*2, 则f(*1)-f(*2)=f(*1)+f(-*2)=f(*1-*2) ∵*1*2,∴*1-*20. 又∵*0时,f(*)0. ∴f(*1-*2)0. 即f(*1)-f(*2)0. 由定义可知f(*)在区间(-∞,+∞)上为单调递减函数. (2)∵f(*)在区间(-∞,+∞)上是减函数, ∴f(*)在[-3,3]上也是减函数. ∴f(-3)最大,f(3)最小. f(-3)=-f(3)=2. 即f(*)在[-3,3]上最大值为2,最小值为-2. 4、思路分析：