原函数与不定积分(直接积分法).pptxVIP

第五章微分法:积分法:互逆运算不定积分 微分的逆运算第1页，共22页。 二、 基本积分公式 三、不定积分的性质 (运算法则) 一、 原函数与不定积分的概念第一节原函数与不定积分(直接积分法） 第五章 第2页，共22页。 一、 原函数与不定积分的概念定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)满足在区间 I 上的一个原函数 .则称 F (x) 为f (x) 第3页，共22页。 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示,有多少个 ? 定理1. 存在原函数 .初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数第4页，共22页。 定理 2. 也是f(x)的原函数,( 其中C 为任意常数 )则(2) f(x)的任意两个原函数之间只相差一个常数.第5页，共22页。 定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中— 积分号;— 被积函数;— 被积表达式.— 积分变量;若则( C 为任意常数 )C 称为积分常数,不可丢 !例如,记作第6页，共22页。 从不定积分定义可得:或或或者写成：第7页，共22页。 不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线 . 第8页，共22页。 例1（）. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解: 所求曲线过点 (1, 2) ,故有因此所求曲线为第9页，共22页。 例2 设曲线通过点(0,0)，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值，求此曲线.解 设所求曲线为y=f(x)，(x,y)为曲线上任一点，由导数的几何意义和题设条件有{由于sinx是cosx的一个原函数，所以cosx的不定积分是y=sinx+C.于是所求的曲线族为 代入初始条件x=0,y=0,求得C=0.故经过点(0,0)的积分曲线为 . 第10页，共22页。 二、 基本积分表利用逆向思维( k 为常数)第11页，共22页。 或或第12页，共22页。 第13页，共22页。 例3. 求解: 原式 =例4. 求解: 原式=第14页，共22页。 三、不定积分的性质推论: 若则第15页，共22页。 例5 求 解 例6 求 .解 第16页，共22页。 例7. 求解: 原式 倍角公式第17页，共22页。 例8. 求解: 原式 第18页，共22页。 例9(5.1.14). 求解: 原式 =例10. 求解: 原式 =第19页，共22页。 例11(5.1.13). 求解: 原式 =加项减项第20页，共22页。 四、内容小结（（直接积分法）1. 不定积分的概念? 原函数与不定积分的定义? 不定积分的性质? 基本积分表2. 直接积分法:利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质第21页，共22页。 5. 求下列积分:提示:第22页，共22页。