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高考数学必考题型归纳及训练—数列大题综合18种题型
讲高考
1.(·湖南·高考真题)数列满足.
(1)求,并求数列的通项公式;
(2)设,求使的所有k的值,并说明理由.
【答案】(1)(2)所有的值为3,4,5
【分析】(1)由题意知,,一般地,当时,.因此.当时,,由此可知数列的通项公式;
(2)由题设知,,,,由此可知当时,,可得满足的所有的值.
【详解】(1)解:因为,,
所以,,
一般地,当时,,
即.所以数列是首项为0、公差为4的等差数列,
因此.
当时,,
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此.
故数列的通项公式为
(2)解:由(1)知,
,,.
于是,,,,,.
下面证明:当时,.
事实上,当时,,
即.
又,所以当时,.
故满足的所有的值为3,4,5.
2.(2022·天津·统考高考真题)设是等差数列,是等比数列,且.
(1)求与的通项公式;
(2)设的前n项和为,求证:;
(3)求.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】(1)利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解;
(2)由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证;
(3)先求得,进而由并项求和可得,再结合错位相减法可得解.
【详解】(1)设公差为d,公比为,则,
由可得(舍去),
所以;
(2)证明:因为所以要证,
即证,即证,
即证,
而显然成立,所以;
(3)因为
,
所以
,设所以,
则,
作差得,
所以,所以.
3.(2022·全国·统考高考真题)已知为等差数列,是公比为2的等比数列,且.
(1)证明:;
(2)求集合中元素个数.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【分析】(1)设数列的公差为,根据题意列出方程组即可证出;
(2)根据题意化简可得,即可解出.
【详解】(1)设数列的公差为,所以,,即可解得,,所以原命题得证.
(2)由(1)知,,所以,即,亦即,解得,所以满足等式的解,故集合中的元素个数为.
4.(2022·全国·统考高考真题)记为数列的前n项和.已知.
(1)证明:是等差数列;
(2)若成等比数列,求的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【分析】(1)依题意可得,根据,作差即可得到,从而得证;
(2)法一:由(1)及等比中项的性质求出,即可得到的通项公式与前项和,再根据二次函数的性质计算可得.
【详解】(1)因为,即①,
当时,②,
①②得,,
即,
即,所以,且,
所以是以为公差的等差数列.
(2)[方法一]:二次函数的性质
由(1)可得,,,
又,,成等比数列,所以,
即,解得,
所以,所以,
所以,当或时,.
[方法二]:【最优解】邻项变号法
由(1)可得,,,
又,,成等比数列,所以,
即,解得,
所以,即有.
则当或时,.
【整体点评】(2)法一:根据二次函数的性质求出的最小值,适用于可以求出的表达式;
法二:根据邻项变号法求最值,计算量小,是该题的最优解.
5.(2021·全国·统考高考真题)记为数列的前n项和,为数列的前n项积,已知.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求的通项公式.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【分析】(1)由已知得,且,取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
(2)由(1)可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】(1)[方法一]:
由已知得,且,,
取,由得,
由于为数列的前n项积,
所以,
所以,
所以,
由于
所以,即,其中
所以数列是以为首项,以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】:
由已知条件知????①
于是.???????②
由①②得.?????③
又,???????④
由③④得.
令,由,得.
所以数列是以为首项,为公差的等差数列.
[方法三]:
??由,得,且,,.
又因为,所以,所以.
在中,当时,.
故数列是以为首项,为公差的等差数列.
[方法四]:数学归纳法
??由已知,得,,,,猜想数列是以为首项,为公差的等差数列,且.
下面用数学归纳法证明.
当时显然成立.
假设当时成立,即.
那么当时,.
综上,猜想对任意的都成立.
即数列是以为首项,为公差的等差数列.
(2)
由(1)可得,数列是以为首项,以为公差的等差数列,
,
,
当n=1时,,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【整体点评】(1)方法一从得,然后利用的定义,得到数列的递推关系,进而替换相除消项得到相邻两项的关系,从而证得结论;
方法二先从的定义,替换相除得到,再结合得到,从而证得结论,为最优解;
方法三由,得,由的定义得,进而作差证得结论;方法四利用归纳猜想得到数列,然后利用数学归纳法证得结论.
(2)由(1)的结论得到,求得的表达
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