全国中学生数学竞赛二试模拟训练题.pdfVIP

加试模拟训练题（76） 1 以△ABC 的两边AB，AC 向外作正方形ABDE，ACFG。△ABC 的高为AH。 2 求证：AH，BF，CD交于一点。 M E G D A K F B H C 3.一次竞赛在n （＞1）轮中共发了m 枚奖章．第一轮发了 轮正好发了n 枚而没有余下的奖章．这个竞赛共包括几轮？一共发了多少奖章？ 3.证明：恰好存在一个三角形，其三条边长为连续自然数，而且一个角的大小是另一个角的两倍． ax +by ax +by a, b x, y Z 4. 设 0 0 为形如 （ 不全为零）的整数中最小的正数，证明： ，恒有 (ax0 +by0 ) (ax +by ) 。 加试模拟训练题（76） 1 以△ABC 的两边AB，AC 向外作正方形ABDE，ACFG。 △ABC 的高为AH。求证：AH，BF，CD交于一点。 M 证 如图。延长HA 到M， 使AM BC。连CM，BM。 设CM与BF 交于点K。 E 在△ACM 和△BCF 中， G AC CF，AM BC，∠MAC+ ∠HAC=180 °，∠HAC+ ∠ HCA=90 °， D A 并且∠BCF=90 °+ ∠HCA， K F 因此∠BCF+ ∠HAC=180 °,∠MAC ∠BCF。 从而△MAC≌△BCF，∠ACM ∠CFB。 B H C 所以∠ MKF ∠KCF+ ∠KFC ∠KCF+ ∠ MCF=90 °， 即 BF 丄MC。 同理CD 丄MB。AH，BF，CD 为△MBC 的3 条高线，故AH，BF，CD 三线交于一 点。 3.一次竞赛在n （＞1）轮中共发了m 枚奖章．第一轮发了 轮正好发了n 枚而没有余下的奖章．这个竞赛共包括几轮？一共发了多少奖章？ 【题说】第九届（1967 年）国际数学 题6．本题由匈牙利提供． 即 （m-36）·6n-1=7n ·（n-6） 所以 6n-1 | （n-6） 但 6n-1 ＞n-6 所以 n=6，m=36 3.证明：恰好存在一个三角形，其三条边长为连续自然数，而且一个角的大小是另一个角的两倍． 【题说】第十届(1968 年)国际数学