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近世代数期末试卷 一、填空题 （共20 分） 1. 设G ＝（a ）是6 阶循环群，则G 的子群有 。 2. 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。 1 － 3. 在4 次对称群S 中，（24 ）（231 ）＝ ，（4321 ） ＝ ， 4 （132）的阶为 。 4. 环Z 的全部零因子是 。 6 5. 整环Z 中的单位有 。 2 3 6. 设群G 是24 阶群，G 中元素a 的阶是6，则元素a 的阶为 ，子群H= a 的 在G 中的指数是 。 二、判断题 （对打“√”，错打“×”，每小题2 分，共20分） 1. （ ）一个阶是11 的群只有两个子群。 2. （ ）设G 是群，H 是G 的不变子群，H 是H 的不变子群，则H 是G 的不 1 2 1 2 变子群。 3. （ ）存在特征是2004 的无零因子环。 4. （ ）域是主理想整环。 5. （ ）模27 的剩余类环Z 是域。 27 6. （ ）素数阶群都是交换群。 7. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 8. （ ）循环群的商群是循环群。 9. （ ）域只有零理想和单位理想。 10. （ ）相伴关系是整环R 的元素间的一个等价关系。 三、解答题 （共30分） 1. 设H ＝｛（1），（12）｝是对称群S 的子群，写出H 的所有左陪集和所有右陪集，问H 3 是否是S 的不变子群？为什么 3 2. 求模12 的剩余类加群(Z ,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。 12 3. 在整数环Z 中，求由2004，17 生成的理想A= （2004，17）。 四、证明题 （共30分） 1. 设I ={2k| ∈Z}, I ={3k| ∈Z} ，试证明： 1 2 （1） I ,I 都是整数环Z 的理想。 （2 ）I ∩I =(6)是Z 的一个主理想。 1 2 1 2 2. 设φ 是群G 到群H 的同态满射, H 是H 的子群。证明：G = {x|x∈G 且φ （x）∈H } 1