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惠州市2022-2023学年度第一学期期末质量检测高二数学试题
一?单项选择题:本题共8小题,每小题满分5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,选对得5分,选错得0分.
1. 过点且平行于直线的直线方程为( )
A. B.
C. D.
2. 已知是等差数列,且是和的等差中项,则的公差为( )
A 1 B. 2 C. -2 D. -1
3. 棱长为的正四面体中,则等于( )
A. B. C. D.
4. 已知椭圆的一个焦点为,且过点,则椭圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
5. 已知空间向量,则向量在坐标平面上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6. 直线l:与圆C:交于A,B两点,则当弦AB最短时直线l的方程为( )
A. B.
C D.
7. 已知直线的方程是,的方程是(,),则下列各图形中,正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 在数列中,若(为常数),则称为“等方差数列”,下列是对“等方差数列”的判断:①若是等方差数列,则是等差数列;②不是等方差数列;③若是等方差数列,则(为常数)也是等方差数列;④若既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列.其中正确命题序号为( )
A. ①③④ B. ②③④ C. ①③ D. ①④
二?多项选择题:本题共4小题,每小题满分5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.
9. 已知数列的前项和为,,则下列说法不正确的是( )
A. 为等差数列 B.
C. 最小值为 D. 为单调递增数列
10. 已知空间中,则下列结论正确的有( )
A. B. 与共线的单位向量是
C. D. 平面的一个法向量是
11. 已知曲线,则下列判断正确的是( )
A. 若,则是圆,其半径为
B. 若,则是双曲线,其渐近线方程为
C. 若,则是椭圆,其焦点在轴上
D. 若,则是两条直线
12. 2022年4月16日9时56分,神舟十三号返回舱成功着陆,返回舱是宇航员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”,如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则( )
A. 椭圆的长轴长为
B. 的周长为
C. 线段AB长度取值范围是
D. 面积的最大值是
三?填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 抛物线:的焦点坐标为______.
14. 已知双曲线经过点,则离心率为__________.
15. 已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1,请写出满足上述条件的一条直线方程__________.(写出一个正确答案即可)
16. 空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为,过点且方向向量为的直线的方程为,阅读上面材料,并解决下面问题:已知平面的方程为,直线是两个平面与的交线,则直线与平面所成角的正弦值为___________.
四?解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18. 如图,在棱长为2的正方体中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点,
(1)求证:
(2)求EF与CG所成角的余弦值.
19. 已知,,为平面内的一个动点,且满足.
(1)求点轨迹方程;
(2)若直线为,求直线被曲线截得弦的长度.
20. 已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点,其中为原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)若,求面积的最小值.
21. 如图,在多面体中,四边形是菱形,,,,平面,,,是的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
22. 已知双曲线的右焦点为为坐标原点,双曲线的两条渐近线的夹角为.
(1)求双曲线的方程;
(2)过点作直线交于两点,在轴上是否存在定点,使为定值?若存在,求出定点的坐标及这个定值;若不存在,说明理由.
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