线性代数消元法.ppt

§3.1 消元法 关于线性代数消元法 第一页，共四十一页，2022年，8月28日 * 1．一般线性方程组是指形式为 (1) 是方程的个数 ; 的方程组，其中 代表 个未知量， 称为方程组的系数； 称为常数项 。 一、一般线性方程组的基本概念 第二页，共四十一页，2022年，8月28日 * 2．方程组的解 设 是 个数，如果 分别用 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 　是（1）的一个解. (1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解． 3．同解方程组 如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们 是同解的． 第三页，共四十一页，2022年，8月28日 * 例1 解线性方程组　　 解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得 第二个方程减去第一个方程的2倍， 二、消元法解一般线性方程组 第三个方程减去第一个方程的3倍，得 1.引例　　 第四页，共四十一页，2022年，8月28日 * 第三个方程减去第二个方程的5倍，得 第三个方程乘以 ，得 第五页，共四十一页，2022年，8月28日 * 第一个方程加上第三个方程； 第二个方程加上第三个方程，得 这样便求得原方程组的解为 或 第六页，共四十一页，2022年，8月28日 * 例2　解下列方程组 解：对换第一，三个方程的次序 第二个方程减去第一个方程的2倍， 第三个方程减去第一个方程的5倍，得 第七页，共四十一页，2022年，8月28日 * 出现矛盾方程“0＝5”，所以原方程组无解. 第三个方程减去第二个方程的2倍，得 第八页，共四十一页，2022年，8月28日 * 例3　解下列方程组 解：第二个方程减去第一个方程的2倍， 第三个方程减去第一个方程的1倍，得 第三个方程加上第二个方程的1倍，得 第九页，共四十一页，2022年，8月28日 * 未知量x2可以自由取值. 第十页，共四十一页，2022年，8月28日 * 定义　线性方程组的初等变换是指下列三种变换 ① 用一个非零的数乘某一个方程； ② 将一个方程的倍数加到另一个方程上； ③ 交换两个方程的位置． 性质　线性方程组经初等变换后，得到的线性方程 组与原线性方程组同解． 2．线性方程组的初等变换　 证明：略 第十一页，共四十一页，2022年，8月28日 * 如对方程组（1）作第二种初等变换: 简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个方程得到新方程组（1'）． （1'） 设　　　　　 是方程组（1）的任一解，则 第十二页，共四十一页，2022年，8月28日 * 所以　　　　　 也是方程组（1'）的解. 于是有 同理可证的（1'）任一解也是（1）的解. 故方程组（1 ' ）与（1）是同解的. 第十三页，共四十一页，2022年，8月28日 * 3．利用初等变换解一般线性方程组 　（化阶梯方程组）　 先检查(1)中 的系数，若 全为零， 则 没有任何限制，即 可取任意值，从而方程组 (1)可以看作是 的方程组来解． 第十四页，共四十一页，2022年，8月28日 * 如果 的系数不全为零，不妨设， 分别把第一个方程 的倍加 到第i个方程 ． (3) 于是(1)就变成 其中 (4) 第十五页，共四十一页，2022年，8月28日 * 再考虑方程组 (4) 即，方程组(3)有解当且仅当方程组(4)有解. (3)是同解的，因此方程组(1)有解当且仅当 (4)有解． 对方程组(4)重复上面的讨论，并且一步步作下去， 最后就得到一个阶梯形方程组. 的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解. 显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3) 而(1)与 第十六页，共四十一页，2022年，8月28日 * 这时去掉它们不影响(5)的解． (5) 其中 方程组(5)中的“０＝０”这样一些恒等式可能不出现 而且(1)与(5)是同解的． 也可能出现， 为了讨论的方便，不妨设所得的阶梯形方程组为 第十七页，共四十一页，2022年，8月28日 * 考察方程组的解的情况: 由Cram