D18函数的连续性与间断点.pptx

会计学 1 D18函数的连续性与间断点 第1页/共29页 1. 函数的增量 自变量 称差 为自变量在 的增量; 函数随着从 称差 为函数的 增量. 如图: 一、函数的连续性 第2页/共29页 连续, 2. 连续的定义 定义1 设函数 f (x)在 内有定义, 若 则称函数f(x)在x0处 并称x0为函数f(x)的 连续点. 定义2 若 则称函数f(x)在x0处 连续. 第3页/共29页 连续性的二种定义形式不同, 这二种定义中都含有 但本质相同. f (x)在 内有定义; (1) (2) (3) 三个要素: 存在; 第4页/共29页 例 证 都是连续的. 类似可证, 是连续的. 即 第5页/共29页 3. 左、右连续 左连续(continuity from the 右连续(continuity from the left); right). 左连续 右连续 第6页/共29页 定理1 此定理常用于判定分段函数在分段点 处的连续性. 第7页/共29页 例 解 右不连续. 所以 左连续, 第8页/共29页 4. 连续函数(continous function)与连续区间 上的 或称函数在该区间上连续. 在区间上每一点都连续的函数, 称该区间 在开区间 右连续 左端点 右端点 这时也称该区间为 continuous 左连续 连续函数, 连续区间. 内连续 是一条无缝隙的连绵而不断的曲线. 连续函数的图形 第9页/共29页 例如, 多项式函数 内是连续的. 因此有理分式函数在其定义域内的每一点 有理分式函数 只要 都有 因此多项式函数在 都是连续的. 第六节中已证 第10页/共29页 定义4 出现如下三种情形之一: 二、函数的间断点及其分类 无定义; 不存在; 间断点. 设函数 f(x)在x0 的某去心邻域内有定义 第11页/共29页 间断点分为两类: 第二类间断点 第一类间断点 及 均存在, 及 中至少有一个不存在. 若 若 若其中有一个为振荡, 若其中有一个为 第12页/共29页 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 无穷次振荡型 第二类间断点 第13页/共29页 例 由于函数 无定义, 故 为f(x)的 间断点. 且 皆不存在. 第二类 第二类间断点: 至少有 且是无穷型间断点. 一个不存在. 第14页/共29页 例 有定义, 不存在, 故 为f (x)的 间断点. 第二类 且是无穷次振荡型间断点. 之间来回无穷次振荡, 第15页/共29页 例 有定义, 故 为f (x)的 间断点. 第一类 的第一类间断点. 则点x0为函数 f(x) 的 且是跳跃间断点. 跳跃型间断点. 及 均存在, 则点x0为 第16页/共29页 例 讨论函数 解 为函数的 间断点. 第一类 且是可去间断点(removable discontinuity). 处无定义, 可去间断点. 第17页/共29页 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 例如: 第18页/共29页 显然 为其可去间断点 . (4) 为其跳跃间断点 . 第19页/共29页 则可使x0变为连续点. 对可去间断点x0, 如果 于A, (这就是为什么将这种间断点称为 使之等 可去间断点的理由.) 补充 x0的函数值, 或改变 第20页/共29页 如补充定义: 如 但 第21页/共29页 解 函数无定义, 是函数的间断点. 由于 所以 是函数的第二类间断点, 且是无穷型. 由于 所以 是函数的第一类间断点, 且是跳跃型. 并指出其类型. 第22页/共29页 疑难解释： 2. 第23页/共29页 第24页/共29页 练习： 1. 2. 设 3. 第25页/共29页 内容小结 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 第26页/共29页 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 无穷次振荡型 第二类间断点 第27页/共29页 作业 P65 3(2)(3); 4 ; 6 第28页/共29页