八年级全等模型第1讲一线三等角.pptx

八年级全等模型汇总八年级全等模型汇总第1讲 一线三等角1、一线三等角-模型分析【知识梳理】“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等或相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形．这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧.一、“一线三等角”的基本构图：AEDEE213AACACBBC常见变形：ABFDDEEDQGGABCFBFPC一线三等角-模型分析二、“一线三等角”的基本应用：“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等．最常见的是直角型“一线三等角”，其次是60°角和45°角及一般的角．【方法技巧】用法：若一线三等角都具备则直接应用;若一线三等角不完全具备，则需要构造出一线三等角．一线三等角-模型分析一、直角型“一线三等角”——“三垂直”直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K"形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种．认识“三垂直"模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊．课堂练习例1、已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．(1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE;(2)当直线l在△ABC的内部如图2所示时，求证：DE=BD－CE;(3)当直线l在△ABC的内部如图3所示时，直接写出DE， BD，CE三者之间的数量关系式为____________.???????????????????1?2?3课堂练习?【答案】（1）∵BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．∴∠BDA=∠CEA=90°∴∠BAD+∠ABD=180°-∠BDA=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC=90°则∠ABD=∠CAE在Rt△BDA和Rt△AEC中 ?∴Rt△BDA≌Rt△AEC（AAS）∴AD=CE，BD=AE∴BD+CE=AE+AD=DE（2）∵BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．∴∠BDA=∠CEA=90°∴∠BAD+∠ABD=180°-∠BDA=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC=90°则∠ABD=∠CAE?在Rt△BDA和Rt△AEC中 ?∴Rt△BDA≌Rt△AEC（AAS）∴AD=CE，BD=AE∴BD+CE=AE+AD=DE（3）CE=BD+DE【解析】（1）（2）利用一线三等角的全等模型，利用角度的等量代换，容易证出Rt△BDA≌Rt△AEC（AAS）（3）同理，结合上述证明思路，得出对应三角形的全等关系，找到对应边相等即可，再根据线段的和差关系不难解出答案。课堂练习二、等边三角形中的“一线三等角”例1、如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB ， BC，AC上的点，∠DEF= 60°， BD=CE．求证：BE= CF．?【解答】已知△ABC为等边三角形∴∠B=∠C=60°∴∠BED+∠BDE=120°∵∠DEF=60°∴∠BED+∠FEC=120°∴∠BDE=∠FEC在△BED和△FCE中 ?∴△BED≌△FCE（ASA）∴BE=CF【分析】本题关键在于求证△BED≌△FCE（ASA）??一线三等角????课堂练习练习1．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点， BE，AD交于点F，∠AFE=60°．求证：AD= BE．?【解答】∵△BAC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC∵∠AFE=60°且是△BFA的外角∴∠BAF +∠FBA =∠AFE=60°.∵∠BAF+∠DAC=∠BAC=60°∴∠EBA=∠DAC在△BAE和△ACD中∴△BAE≌△ACD（ASA）∴AD=BE. 【分析】本题属于一线三等角的全等模型，利用角度的和差关系，将∠EBA=∠DAC求证出，进而转化为ASA的全等证明??????课堂练习三、等腰直角三角形中的“一线三等角”例1、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°,点D,E分别为AB 、BC上的点，且CD= DE，∠CDE=45°求证：BD= BC． ??【解答】已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°∴∠B=45°∵CD= DE，∠CDE=45°∴∠DCE= ?在△DCB中，同理∠CDB=180°-∠DCE-∠B=67.5°∴∠DCE=∠CDB∴BD= BC【分析】利用三角形内角和等于180°定理，再利用角度的和差关系，进而利用等角对等边得到答案?????课堂练习练习1．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠C=90° ， BC=7，AD=4，过点A作AE⊥AB，垂足为A，且AE=AB，连接DE．求△ADE的面积． ???构造全等??【解析】构造Rt△EMA≌Rt△BNA（ASA）求得EM=BN=7-4=3∴6???课堂练习2．