第10章 §10.3　二项式定理.docxVIP

§10.3二项式定理 【考试要求】能用多项式运算法那么和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项 展开式有关的简单问题. ■落实主干知识 【知识梳理】.二项式定理 二项式定理 (〃+b)〃=C-〃+C-N + …+C^an~kbk + …+ C"(〃 ￡ N") 二项展开式的通项 Tk+l—Cd/k,它表示展开式的第Z+l项 二项式系数 C1(Z:=0,l,…，n) ,二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. ⑵增减性与最大值：当〃是偶数时，中间的一项C：取得最大值；当"是奇数时，中间的两 n-\〃+1项C7与C?相等，且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和：3+3〃的展开式的各二项式系数的和等于22. 【常用结论】.两个常用公式 ⑴ C9+CL+&+…+C；=2〃. ⑵C9+C计c计…=G+G+c升…=2广L.二项展开式的三个重要特征 ⑴字母a的指数按降幕排列由〃到0. (2)字母b的指数按升塞排列由0到九⑶每一项字母。的指数与字母b的指数的和等于机 【思考辨析】判断以下结论是否正确(请在括号中打“ J ”或“ X ”) (1)&〃厂人7/是(q+〃)〃的展开式的第攵项.(X )(2)(〃+与〃的展开式中某一项的二项式系数与人无关.(V ) ⑶二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(X )(4)(。+份〃的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同.(X ) 是()A. -3B. 2 C. 10D. 11答案C 解析 11〃+??11〃-1+既?11〃-2 +???+就一1.11 —1=??11〃+011〃一1+禺?11〃-2+???+箴-1.11+CL2=(11 + 1)〃一2 = 12〃-2=(13—1)〃一2=OM3〃一。?13厂―…+ (—l)Li?C；「i?13 + (—1)〃C；—2, 因为〃为奇数，那么上式=C943〃一CJ“3〃—叶??? + (—l)〃「c「?13 —3 = [C9?13〃一C“3〃一】+…+ (—1)〃-1?立一1?13—13] + 10,所以 iin+air-1+ci ii,,"2+-+cr14i-i 除以 13 的余数是 io. (2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A. 0.940B. 0.941 C. 0.942D. 0.943答案B 解析(699)6 = (1—0.01)6=CgXl—C&XO. 01+C/XO. 012—cgXO.O13 + ???+cgxo.oi6= 1-0.06+0.001 5-0.000 02+-+0.016 ^0.941. 课时精练 理基础保分练（2022.济南模拟）（x+￡）6的展开式中，含/项的系数为（） A. 4B. 6C. 10D. 15 答案B解析G+￡|6的展开式通项为 77+1 =0?必—0 =金?必一2、令6—2k=4,解得％=1, 因此，展开式中含/项的系数为C&=6. 2. （2022? 2. （2022?武汉局部重点中学联考）在2-77 的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，那么 B. B.55展开式常数项是（）a 55 B. 55 ATC. -28D. 28 答案B解析 展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以〃 =12, 展开式的通项为 = 3(-i 火12- = 3(-i 火 12-级 X 3 4 假设为常数项,那么12—平=0, 所以攵=9 ,得常数项为T"） = C?2（— 1）902-9=一爷=—当 3.（2022?邯郸模拟）（小一幻（1+幻6的展开式中V项的系数为（）B. B. 9 B. 9A. —9C. -21D. B. 9 答案A解析展开式中X3项的系数为c&—Q=—9. （2022?芜湖质检）（x一切）（1+2）5=〃0+〃逮+。2/+…+。6/，其中加为常数，假设〃4=30, 那么俏等于（）A. -32B. 32 C. 64D. -64答案A 解析 由多项式乘法知，第一个因式中x乘以a+2）5展开式中的r项得一个/项，第一个因 式中的常数一相乘以（x + 2）5展开式中的/项得另一个/项，两项合并同类项得系数即为。4, 所以 44=0X22一mXCgX2 = 30,解得加=1,再令冗=0,得〃o=—25=-32. 5.（2022.大连模拟Xox—y）（x+y）4的展开式中的系数为—2,那么实数〃的值为（）- 1 A. —t B. — 1 C. 1 D.t答案D 解析化简得(依一y)(x+y)4 = ax.(x+y)4—y.(x+y)4,???(x+y)4的展开式的通项公式 八+1=0？3%，当k=2时，?(x+y)4的展开式中x3y2的系数为C勿=6。， 当k=l时，一y,(%+y)4的展开式中x3y2的系数